Колебания систем с одной степенью свободы

 

В качестве такой системы рассмотрим невесомую консоль с одним (точечным) грузом Q, рис. 15.2. Коэффициент жесткости упругой системы (балки) в точке приложения груза с или коэффициент податливости δ₁₁=1/ c заданы.

Коэффициент жесткости упругой системы представляет силу, вызывающую единичное перемещение, что следует из равенства P = cf, а коэффициент податливости упругой системы представляет перемещение, вызванное единичной силой, что следует из равенства f =δ₁₁ P.

 

В положении статического равновесия в балке возникает прогиб f =δ₁₁ Q.

Из условия равновесия груза следует, что реакция балки на груз R = Q, т.е. f =δ₁₁ R.

Для возбуждения собственных колебаний отклоним балку каким либо воздействием от положения статического равновесия, а затем отпустим. Так как полный прогиб f + y больше статического f, то реакция балки R + P, будет больше силы тяжести Q и груз начнет перемещаться вверх (в сторону восстанавливающей силы P = cy), которая стремится возвратить систему в положение статического равновесия. При достижении этого положения скорость движения становится максимальной и груз по инерции пробегает положение статического равновесия, а восстанавливающая сила Р изменит свое направление, стремясь затормозить движение груза. Груз остановится в верхней точке, когда скорость станет равной нулю, а восстанавливающая сила достигнет максимального значения с направлением вниз. Груз начнет перемещаться вниз, и когда скорость, направленная вниз, достигнет максимального значения, появится восстанавливающая сила другого знака, направленная вверх. Так каждый раз при прохождении положения статического равновесия восстанавливающая сила приобретает знак противоположный скорости, т.е. по направлению скорости движения после прохождения положения статического равновесия можно определить направление восстанавливающей силы, стремящей вернуть систему в положение статического равновесия.

Аналогичные колебания возникают в любой невесомой упругой системе: балках и рамах, стержневых растянуто-сжатых системах (канатах, фермах, пружинах), валах, гибких нитях и др.

Для вывода расчетных зависимостей рассмотрим невесомую консоль с одним сосредоточенным грузом Q = Mg, рис. 15.3.

Перемещение груза

,          (15.1)

где: Q = М g – вес груза;  - сила инерции колеблющейся массы; - сила сопротивления движению, пропорциональная скорости движения с коэффициентом сопротивления k; q (z, t) - интенсивность возмущающей нагрузки; δ_1z - перемещение в точке приложения массы М от единичной силы, приложенной в сечении z.

Если q (z, t) =0, то возникают собственные затухающие колебания. Если k =0, то будут собственные незатухающие колебания, происходящие в окружающей среде без сопротивления движению и возникающие за счет отклонения упругой системы от положения статического равновесия.