Изгиб с кручением. Расчет круглого вала

 

Одновременное действие изгиба с кручением не является характерным случаем сложного сопротивления для строительных конструкций. Это более типично для различных деталей машин, например: коленчатый вал, который воспринимает крутящий момент в сочетании с изгибом, или оси моторных вагонов и т.д.

Совместное действие изгиба и кручения является наиболее характерным случаем загружения круглого вала. Рассмотрим вал, подвергающийся изгибу в 2-х плоскостях под воздействием сил Р_х и Р_у, и кручению под воздействием крутящего момента М_кр.

Под действием указанных нагрузок в опасном сечении вала возникнут (рис. 10.11):

- нормальные напряжения от изгиба в вертикальной и горизонтальной плоскости:

σ_z(M_x) =  σ_z(M_y) =

- касательные напряжения: τ_кр(M _кр) .

Для упрощения анализа рассматриваемого воздействия и в силу симметричности рассматриваемого сечения относительно осей х и у (W_x = W_y = W _и  момент сопротивления при изгибе).

Определим максимальные нормальные напряжения от действия результирующего изгибающего момента М_р

σ_max =                                                                             (10.16)

 

Определим эквивалентный расчетный момент по III теории прочности:

 

Учитывая, что

W_x = W_y = W = W _ρ / 2

получим:

    (10.17)

 

Аналогично по IV теории прочности с учетом необходимых преобразований найдем

                           (10.18)

 

Далее условие прочности можно записать, как

σ_расч = ≤ R                                                                                         (10.19)

 

отсюда

W _тр ≥

а диаметр вала

                                    (10.20)

 

МОДУЛЬ 11. ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

 

Продольно-поперечный изгиб

 

Из самого названия напряженно-деформированного состояния следует, что стержень загружен не только поперечной, но и продольной нагрузкой, рис. 11.1.

 

Следовательно, продольно-поперечный изгиб – это вид деформации, когда на стержень одновременно действует продольная и поперечная нагрузка.

Поперечная нагрузка вызывает изгиб стержня, а продольная – в основном сжатие. Можно ли в этом случае вычислять напряжения по принципу суперпозиции

                                       (11.1)

В случае весьма жестких стержней напряжения, вычисленные по формуле (11.1), будут достаточно достоверными, но в случае гибких стержней (с небольшой изгибной жестокостью) применение формулы (11.1) приведет к большой погрешности. Принцип суперпозиции при продольно-поперечном изгибе не применим, так как продольная сила  в изогнутом стержне вызывает дополнительный изгиб Принцип суперпозиции – принцип независимости и сложения действия сил, заключающийся в том, что силовые фактор, напряжения и перемещения, т.е. все, кроме работы и потенциальной энергии, можно вычислять от каждой нагрузки отдельно и результаты складывать.

Для вычисления действительных напряжений дополнительный изгибающий момент нужно вычислять с учетам действительных прогибов, вызванных одновременный воздействием как поперечной так и продольной нагрузок. Задача сводится к вычислению этих перемещений, т.е. к определению уравнения изогнутой оси стержня. Наиболее эффективно при этом использовать метод начальных параметров.

Рассмотрим балку под действием продольной силы  и любой поперечной нагрузки, рис. 11.1. Составим дифференциальное уравнение изогнутой оси

Обозначив через

                                             (11.2)

получим

                                  (11.3)

Решение этого уравнения представим в виде

 

Разыскивая частное решение y ^* в виде полинома y ^*= a + bz и подставляя его в исходное уравнение (11.3), способом неопределенных коэффициентов находим

, .

При этом уравнение (11.3) примет следующий вид

                    (11.4)

Отсюда дифференцированием можно получить уравнение углов поворота

,                            (11.5)

Выразим постоянные интегрирования А и В через начальные параметры из условий, что при z =0, y = y ₀, . Из этих условий находим ,  или . Подставляя в уравнение (11.5) постоянные А и В, получим

.        (11.6)

Если бы к балке была приложена только сила P ₀, то уравнение изогнутой оси (11.3) имело бы вид

.

В случае загружения балки лишь одним моментом M ₀

.

Здесь , , ,  - начальные параметры при отдельном загружении балки нагрузками  и  соответственно.

Отсюда следует, что к поперечной нагрузке можно применять принцип суперпозиции, но при каждом загружении нужно учитывать продольную силу.