Длина одной минуты дуги меридиана.

Длина S одной минуты дуги меридиана может быть определена из следующего равенства:

 

                                      d S = M d j =        (1.10),

следовательно, дуга меридиана между параллелями j₁ и j₂ будет:

S = a (1-e²)    (1.11)

Этот интеграл не выражается в элементарных функциях, поэтому подынтегральное

выражение   разложим в ряд, получим:

 = 1 + 3/2 e² Sin² j + 15/8 e⁴ Sin⁴ j + 105/48 e⁶ Sin⁶ j + ……..

Продолжим разложение значений Sin j.

Sin² j = ½ - 1/2Cos2 j - …………..

Sin⁴ j = 3/8 – 1/2Cos2 j + 1/8 Cos4 j + ………….тогда:

 = A – B Cos2 j + C Cos4 j - Dcos6 j + ……, теперь находим значения коэффициентов А, В.

А = 1 + 3/4е² + 45/64е⁴ + 175/256е⁶ + …………..

В = 3/4е² + 15/16е⁴ + 525/512е⁶ + ……….Подставляя эти значения коэффициентов в знаменатель формулы (1.11) и, принимая dj = arc1^¢, получим следующее выражение длины одной минуты дуги меридиана:

S = a(1-e²) A arc1 ¢ - a(1-e²) B arc1 ¢ Cos2 j.

 

 Подставляя значения параметров эллипсоида Красовского а и е²:   

а(1-е²) А = 6 368 027,5

а(1-е²) В = 32 073 и значение d j = arc1¢ =

 получим окончательно:

S = 1852,25 – 9,31 Cos2j метры   (1.12)

 Как видим, длина одной минуты дуги меридиана величина переменная, зависит от удвоенной широты места исследуемой точки и меняется в пределах от 1843,0 м на экваторе и до 1861,6 м на полюсе.

В навигации принято Землю принимать за шар, у которого длина одной минуты дуги меридиана равна округленной до целого значения величины  1852 метра.       

Эту величину морской мили в метрах узаконили на Международном гидрографическом бюро в Монако в 1928 году.

 

Длина одной минуты дуги параллели

 Исходя из условия кривизны любой кривой, можно записать выражение для длины 1 минуты дуги параллели:

Р = r arc1¢

Ранее мы нашли, что х = r, тогда вместо r подставим значение координаты х и запишем:

Р = r arc1¢ = , вместо arc1 ¢ и   а подставим их значения и получим окончательно:

                                          метр      (1.13)

Эксцентриситет ,  а  е² = 0,0066934

Ортодромия  локсодромия

       Используя навигационные морские карты, судоводители прокладывают на них путь в виде прямой линии.  Из условия построения карты, такой прямой путь на карте не будет кратчайшим на местности. Путь (прямая), проложенный на карте в Меркаторской проекции называется локсодромией (кривой бег). Кратчайший же путь между двумя точками на земной поверхности эллипсоида является сложной кривой, называемой геодезической линией. На поверхности сферы (шара) кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется по дуге большого круга, т.е. круга, образованного пересечением плоскости, проходящей через центр сферы и заданные точки, со сферической поверхностью. Такая дуга в навигации называется ортодромией (Рис.1.6). Уравнение ортодромии, проходящей через заданные точки, имеет вид:

CtgA₁ = tgj₂ Cosj₁CosecDl - Sinj₁ CtgDl (11), где:

А₁ – направление ортодромии в точке В₁,

Dl - разность долгот точек В₂ и В₁.

       При анализе уравнения ортодромии можно сделать следующие выводы:

1. при расположении точек В₁ и В₂ на одном меридиане ортодромия совпадает с меридианом этих точек.

2. ортодромия пересекает меридианы под разными углами (А₀, А₁, А₂),

3. при расположении точек по экватору ортодромия совпадает с экватором.

Рис1.6

       С появлением на море магнитных компасов стало удобным плавать на линии постоянного курса, что стимулировало геометрические исследования в этой области. Кривую на поверхности Земли, пересекающую все меридианы под одним и тем же углом называют, как уже говорилось локсодромией. Эта кривая в математике известна как логарифмическая спираль, на навигационной карте она прямая линия, пересекающая меридианы под одним и тем же углом.   

                          Р азность углов, под которыми ортодромия пересекает меридианы двух точек, называется сближением (схождением) меридианов.          γ = А₂ – А₁.

Угол схождения меридианов рассчитывается по приближенной формуле:

 

γ = 2arc tg [tg() Sin j_ср]                 (1.14)

Основные свойства локсодромии:

1. Если курс равен 180 или 360, то локсодромия совпадает с меридианом и ортодромией (см 1.6) К=0. tgK = 0. l₂ - l₁ = 0.. l₂ = l₁)
2. Если курс равен 90 или 270, то локсодромия совпадает с параллелью или экватором, т.е. образует малый или большой круг на поверхности Земли.
3. При любых других курсах локсодромия спиралеобразно стремится к полюсу, никогда его не достигая.

Из треугольника ОАС (Рис.1.7) определяем отношение радиусов экватора (R) и параллели (r). r = R Cosj. Отсюда длина любой параллели будет равна 2pr = 2pRCos j. Отрезок параллели между двумя какими-либо меридианами равен отрезку экватора между теми же меридианами, умножен-

Принимая Землю за шар, можно определить отношение длины экватора и параллели в какой - либо произвольной широте j.

Рис. 1.7

ному на косинус широты этой параллели.

Возьмем на локсодромии две точки М₁(j₁, l₁) и М₂(j₂, l₂) (Рис. 1.8a), находящиеся на малом расстоянии одна от другой (dS). Из элементарного треугольника М₁ М₂ С (Рис.18.b) имеем:

tgK = , откуда d l = tgK , проинтегрировав это последнее выражение, получим:

             , после решения интегралов,

 

M1

M2

C        d l Cos j

Рис.1.8 b

Рис.1.8а

dS

K

d j

 

получим уравнение локсодромии:

l₂ - l₁ = tg K [ln tg(p/4+j₂/2) – ln tg (p/4 + j₁/2)]   (1.15)

Возвращаясь к форме Земли как сфероиду,  локсодромия примет вид:

l₂ - l₁ = tg K ln tg (

локсодромия на навигационной карте:

y – y₀ = (x – x₀) tgK,      (l - l₀)¢ = (D – D₀)¢ tg K,

РД = РМЧ tg K (1.16)

 

D

 

 

                                                                        Рис.1.9

x0, y0

D₀

  l₀                                                    l

 

Меридиональные части

       Для упрощения решения задачи примем форму Земли в виде шара. Рассмотрим элементарный треугольник на поверхности шара D LMN и его проекцию на плоскость D lmn (Рис.1.10 и 1.11).

При проектировании треугольника с поверхности шара на плоскость, меридианы изобразятся параллельными прямыми, перпендикулярными линии экватора, а параллели прямыми, параллельными экватору. По малости треугольника D LMN можно рассматривать его как плоский и прямоугольный.

Тогда катет     È MN = а Dj,

а катет   È LM = r Dl = а Dl Cosj.

В треугольнике D LMN отношение катетов будет:

                                      

В элементарном треугольнике lmn катеты будут по меридиану dx, а по параллели - dy, но dy = adl. Переходя к конечным приращениям, имеем dx =DD,  dy=aDl.

 

 

	PN

                                      

 

 

			l

 

Dl

                                                  Рис.1.10                                                           Рис.1.11

	B		a			b

 

Тогда в треугольнике D lmn на плоскости, отношение катетов запишется:

             

Исходя из подобия треугольников и равенства углов, можно записать:

                                             ,

откуда , переходя из конечных приращений к дифференциалам, получим:

.  (1.17)

Проинтегрировав выражение (1.17) в пределах от 0 до j, получим:

  (1.18)

Величина D называется меридиональной частью и представляет собой расстояние по меридиану от экватора до заданной параллели в минутах дуги экватора.

       Выражая меридиональную часть через длину дуги экватора, примем:

а = 3437,747 экв. миль.

Далее для перехода от натуральных логарифмов к десятичным, введем модуль логарифмов: mod = 0,434294.

Тогда:     D = .

                                      D = 7915,705 lgtg(45 + )  (1.19)

С учетом сжатия Земли выражение перепишется в следующем виде:

             D¢ = 7915,70447 lg tg (45 +         (1.20)

По этой формуле составлены таблицы «Меридиональные части» в МТ любого года издания.

Пример 1:

Во сколько раз меркаторская миля в широте j₁ = 71 °30 больше меркаторской мили в широте j₂ = 26 °30 ¢?

Решение. Из мореходных таблиц выбираем значения меридиональных частей для приведенных в задаче широт

                   j₁ = 71°30 МЧ = 6217,2 j = 71°31 МЧ = 6220,4

                   j₂ = 26°30¢    МЧ = 1639,7 j = 26°31 МЧ = 1640,8  

Для j₁ при РШ = 1¢ РМЧ₁ = 3,2

Для j₂ при РШ = 1¢ РМЧ₂ = 1,1.

Вычисляем отношение полученных РМЧ и тем самым находим ответ на поставленный вопрос задачи:               раза.

Пример 2: Рассчитать длину одной минуты меридиана в широте Одессы j = 46 °35 ¢ N.

Решение. Для расчета применим формулу: S = 1852,25 – 9,31 Cos2j. Подставив значение широты 46°35¢, получим длину одной минуты меридиана в метрах:

S = 1852,2 – 9,31 Cos 93°10¢ = 1852,2 – 9,31 * 0,0552 = 1851,7 м.    

 

Контрольные вопросы

1. Единица измерения меридианного  радиуса кривизны сечения эллипсоида.
2. Как изменяется длина 1 ¢ меридиана в зависимости от широты?
3. Что такое меридиональная часть?
4. Перечислите основные свойства  локсодромии.
5. Чему равна длина 1 морской мили в метрах?

 

Глава 3

Видимый горизонт