Численные методы оптимизации при наличии ограничений

Все методы оптимизации при наличии ограничений делятся на два класса: методы сведения к задаче безусловного экстремума без ограничений и методы прямого решения задач с ограничениями.

Среди методов, сводящих задачу с ограничениями к безусловной оптимизации, наиболее широко распространены методы штрафных функций.

 

Методы штрафных функций

При решении задач оптимизации химико-технологической системы существует, как правило, ряд ограничений типа равенств (например, значения потоков в местах разрывов в схемах с обратной связью), так и ограничения типа неравенств (например, технологические ограничения по диапазону концентраций, температур, давления и т.д.).

Тогда в общем виде задачу можно сформулировать следующим образом:

минимизировать

при ограничениях

 

 

В основу методов штрафных функций положена идея преобразования общей нелинейной задачи в последовательность задач без ограничений путем добавления к целевой функции одной или нескольких функций, задающих ограничения с тем, чтобы ограничения, как таковые, в задаче оптимизации не фигурировали.

Например, необходимо минимизировать функцию

Где ОГРАНИЧЕНИЯ II-го РОДА имеют вид:

 

Графическая (рис.1.4.18) иллюстрация целевой функции при поиске оптимума без использования метода штрафных функций

Рис.1.4.18. Целевая функция

Ясно, что ограничение x1 должно сдерживать любой шаговый метод поиска, такое ограничение называется активным.

Одним из наиболее простых методов штрафа является изменение целевой функции с тем, чтобы образовать локальный экстремум в окрестности активного ограничения. С этой целью формируется новая

целевая функция (штрафная функция):

Тогда целевая функция (рис.1.4.19) будет иметь вид:

Рис.1.4.19. Целевая штрафная функция

и методом прохождения безусловного экстремума можно определить точку оптимума. Однако, получается точка, отстоящая от границы и, следовательно, от точного решения на величину (x1 – x*), что не всегда удовлетворяет точности решения задачи.

Для того, чтобы удовлетворить точности, необходимо ввести некоторый множитель μ, который называется весовым коэффициентом (μ> 1).

Графическая (рис.1.4.20) иллюстрация целевой функции при поиске оптимума с использованием метода штрафных функций с различными значениями весовых коэффициентов:

Рис.1.4.20. Поиск оптимума, метод штрафных функций

с увеличением μ

 

Аналогично можно ввести штрафную функцию для ограничений в виде равенств, тогда обобщенный критерий оптимизации примет вид:

 

μi – весовые коэффициенты

u – оператор Хевисайда,

который принимает значения 0 и 1, если в точке

и 1, если

Таким образом, вводя, штрафную функцию мы тем самым выделяем своеобразную «стену» на границе области и чем больше μi, тем она «круче». Однако на этой же границе образуется овраг, который резко замедляет скорость сходимости любого метода, а для некоторых он непроходим. Поэтому выбор весовых коэффициентов тоже является своеобразной задачей и от удачного выбора во многом зависит время решения задачи.

Теория штрафных функций достаточно хорошо разработана и основана на идее изменения целевой функции таким образом, чтобы последовательность точек, получаемых в результате применения какого-либо метода безусловной оптимизации, одновременно сходилась и к выполнению всех ограничений и к минимальному значению целевой функции.