Представление химико-технологического процесса для построения математических моделей

Объект

Рис.1.4.1. Объект ХТП

Объект = «черный ящик» или «black box» - эмпирическая модель

Объект ≠ «черный ящик» или «black box» - физико-химическая модель

Принципы построения теоретических физико-химических моделей

Последовательные этапы

Изучается теория процесса

Составляется система уравнений математического описания (МО)

Выбирается алгоритм решения системы уравнений МО, т.н. моделирующий алгоритм (МА)

МА реализуется на компьютере и получается математическая модель (ММ)

Проверяется адекватность модели путем сравнения расчетных результатов с экспериментальными

В случае отсутствия адекватности модели решается задача идентификации

Идентификация математической модели

Идентификация – частный случай оптимизации, когда ищется наименьшее значение критерия рассогласования

 

Структурная идентификация:

 

Параметрическая идентификация:

 

При построении теоретической физико-химической модели ХТП на основании знания механизмов протекающих процессов:

Составляется система уравнений математического описания (МО)

Разрабатывается или выбирается алгоритм решения системы уравнений математического описания, т.н. моделирующий алгоритм (МА)

Моделирующий алгоритм решения уравнений математического описания реализуется на компьютере в виде расчетного модуля технологического процесса в конкретном аппарате

В результате получается математическая модель ХТП, реализованная на компьютере, которая в случае ее адекватности используется для исследования реального производства.

Оптимизация процессов с использованием математических моделей

 

Необходимо:

1) выбрать целевую функцию – критерий оптимальности R

 

Виды критериев оптимальности:

Технологические

Экономические

Технико-экономические

Термодинамические

 

разработать и реализовать на компьютере адекватную математическую модель

выбрать ресурсы оптимизации u - оптимизирующие или управляющие параметры

Провести анализ параметрической чувствительности критерия оптимальности (целевой функции) от ресурсов оптимизации (оптимизирующих или управляющих параметров)

Выбрать и реализовать алгоритм оптимизации

Формулировка задачи оптимизации

для многих переменных

 

Результат решения задачи оптимизации

 

Решение задачи оптимизации (рис.1.4.2) для одной переменной:

Поиск:

Рис.1.4.2. Решение задачи оптимизации

 

 

Графическое изображение (рис.1.4.3) оптимальных значений оптимизирующих или управляющих параметров в параметрической плоскости для двух оптимизирующих переменных:

Рис.1.4.3. Параметрическая плоскость для двух оптимизирующих переменных

Результат решения задачи

одномерной оптимизации:

 

 

Формулировка задачи нелинейного программирования (НЛП)

Ограничения Первого рода:

 

Ограничения Второго рода:

 

Формулировки задачи оптимизации при использовании для её решения математических моделей различных типов

 

В процессе проектирования новых и при эксплуатации действующих ХТП ставятся и решаются схожие задачи оптимизации.

В случае проектирования новых ХТП задача оптимизации сводится к выбору оборудования, расчёту его конструкционных и технологических параметров и синтезу схемы обвязки оборудования материальными и тепловыми потоками так, чтобы из имеющегося сырья произвести заданное количество продуктов требуемого качества с минимальными затратами и/или с максимальной прибылью.

 

При реконструкции или диверсификации ХТП задача оптимизации подобна сформулированной выше с той лишь разницей, что здесь дополнительно требуется, по-возможности, сохранить существующую производственную систему и с минимальными изменениями получить улучшенную, соответствующую решению поставленных задач, например, приносящую большую прибыль или другой, расширенный ассортимент получаемых продуктов с наименьшими затратами.

В отличие от задач оптимизации, задача оптимального управления действующего ХТП состоит в выборе режимно-технологическихпараметров ХТП для максимизации, например, прибыли. Следует заметить, что прибыль, как будет показано ниже, выступает в качестве одного из основных экономических показателей, поскольку включает в себя такие критерии, как выручка, капитальные и эксплуатационные затраты, налоги, амортизация, кредит и т.п.

 

В общем случае для задач оптимизации ХТП используются два типа математических моделей:

• теоретические физико-химические

• эмпирические статистические

 

Математическая формулировка задачи оптимизации

 

В дальнейшем будем полагать, что всегда ищется экстремум, являющийся минимумом заданной целевой функции многих переменных. Задача на поиск максимума сводится к задаче на поиск минимума простым изменением знака функции.

В результате задача оптимизации в узком смысле (экстремальная задача) может быть записана как

 

В этом случае отрезок

 

 представляет собой ограничения 1-го рода, накладываемые на независимые переменные, и соответствует области допустимых значений независимых переменных оптимизации, в которой определяются их оптимальные величины

 

 обеспечивающие минимум целевой функции:

 

Задача оптимизации в широком смысле (задача нелинейного программирования) заключается в отыскании экстремума целевой функции при заданных ограничениях в виде равенств и (или) неравенств. Ограничения могут быть линейными и (или) нелинейными.

Пусть непрерывная функция

представляет собой целевую функцию;

 

задают ограничения в виде равенств:

ограничения в виде неравенств:

Переменные

могут быть конструкционными параметрами, параметрами режимов, уставками регуляторов и т.п.

Формально задача нелинейного программирования может быть сформулирована следующим образом:

минимизировать

 

при линейных и (или) нелинейных ограничениях в виде равенств

 

и линейных и (или) нелинейных ограничениях в виде неравенств

 

 

Решение этой задачи соответствует

отысканию множества

удовлетворяющего двум последним соотношениям и составляющего экстремум функции

 

По аналогии с экстремальной задачей,

задачу нелинейного программирования

можно представить следующим образом:

 

Здесь появляются ограничения 2-го рода в виде предпоследних равенств и последних неравенств, что может существенно усложнить решение задачи оптимизации.

 

Этапы решения задачи оптимизации

· СТАРТ

· Формулировка критерия оптимальности

· Разработка (выбор) и реализация алгоритма математической модели ХТП

· Выбор ресурсов оптимизации путём анализа параметрической чувствительности математической модели ХТП

· Формулировка ограничений I-го и II-го рода, накладываемых на параметры ХТП

· Выбор (разработка) и реализация алгоритма оптимизации для решения задачи НЛП

· СТОП

 

для решения задачи оптимизации необходимо:

сформировать (выбрать) критерий оптимальности (целевую функцию);

найти ресурсы оптимизации – оптимизирующие (управляющие) переменные;

определить ограничения I-го и II-го рода, накладываемые на параметры процесса, исходя из физико-химических, технологических, конструкционных и других соображений;

выбрать (разработать) и реализовать два алгоритма:

    а) алгоритм математической модели

    б) алгоритм оптимизации;

реализовать процедуру анализа параметрической чувствительности используемой адекватной ММ с целью выявления взаимовлияния параметров процесса друг на друга, определения чувствительности выбранного критерия оптимальности (целевой функции) к изменению физико-химических, режимных и конструкционных параметров ХТП, а также для выбора оптимальных ресурсов оптимизации – оптимизирующих (управляющих) переменных, наиболее сильно влияющих на критерий оптимальности.

 

В общем случае критерий оптимальности должен удовлетворять трём основным требованиям:

Во-первых, он должен быть количественным, то есть выражаться числом, чтобы можно было количественно сравнивать эффективность различных вариантов проведения процесса.

Во-вторых, критерий оптимальности должен быть единственным. Выполнение этого требования связано с серьёзными затруднениями (рис.1.4.4), так как на практике естественно желание обеспечить оптимальные значения нескольких критериев оптимальности.

Например, для получения определённого целевого продукта необходимо стремиться к тому, чтобы его концентрация на выходе была максимальной, а себестоимость минимальной.

Рис.1.4.4. Оптимальные значения нескольких критериев оптимальности

Из рисунка следует, что оптимальные значения ресурса оптимизации будут различными для отличающихся друг от друга критериев оптимальности - C и x.

Поэтому, если использовать один критерий, то получается один результат

 (      и x_max).

Со вторым критерием – иной результат (        и C_min).

В результате постановку задачи оптимизации с целью определения расхода сырья, при котором себестоимость станет минимальной а концентрация целевого продукта максимальной, нельзя признать корректной. Неправильно, например, искать оптимальные условия проведения процесса, при которых выход продукта будет максимальным, а концентрация примеси в нём минимальной. Иногда эти требования несовместимы.

 

В настоящее время всё большее распространение получает так называемые обобщённые критерии оптимальности, которые являются некоторой функцией рассмотренных частных критериев оптимальности. В этом случае обобщённый критерий представляется в виде суммы (аддитивный критерий) или в виде произведения (мультипликативный критерий) частных критериев. При этом весовые коэффициенты позволяют правильно определить степень вклада всех частных критериев в обобщённый критерий оптимальности. В результате при оптимизации ведётся поиск экстремального значения единственного, но обобщенного критерия оптимальности.

 

Третье требование к критерию оптимальности: монотонное изменение (рис.1.4.5) его величины в зависимости от оптимизирующих переменных.

При незначительных изменениях критерия оптимальности в зависимости от оптимизирующих переменных возникают большие затруднения при определении их оптимальных значений.

Рис.1.4.5. Возникают затруднения при определении оптимальных значений

Как видно из рисунка, оптимальные условия, которые могут быть определены при этом – u^opt*, R^max*, существенно отличаются от действительных оптимальных условий - u^opt, R^max, (велико Δu = u^opt* - u^opt). В этом случае критерий оптимальности нечувствителен к изменению оптимизирующих переменных.

 

Когда экстремум (рис.1.4.6) критерия оптимальности имеет ярко выраженный характер, также необходимы эффективные методы оптимизации, которые позволяют найти оптимальные условия - u^opt, R^max.

Рис.1.4.6. экстремум критерия оптимальности имеет ярко выраженный характер

В этом случае значительное отклонение от оптимальных условий u^opt может привести к существенному изменению показателя качества функционирования ХТП – критерия R^max. Поэтому поддержание оптимальных условий в реальном процессе становится сложной задачей из-за большой чувствительности экстремального значения критерия оптимальности.

 

Наличие (рис.1.4.7) нескольких экстремумов и точек разрыва функции критерия оптимальности усложняет процедуру оптимизации

Рис.1.4.7. Наличие нескольких экстремумов и точек разрыва

В этом случае необходимо найти либо наибольшее значение функции (точка B), либо наименьшее значение (точка F), то есть глобальный экстремум. Если в процессе оптимизации будет определён локальный экстремум (точка A) - локальный максимум или точка C на отрезке [A, B] - локальный минимум, точка E - локальный минимум), то это приведёт к неверным координатам оптимальных условий. Определённые сложности могут возникнуть при расчёте глобального максимума (точка B) из-за разрыва функции критерия оптимальности в этой точке.

Таким образом, необходимым условием успешного решения задачи является исследование характера изменения функции критерия оптимальности. Так как процесс формулировки критерия оптимальности не формализован и в известной степени носит субъективный характер, необходимо стремиться к тому, чтобы функция критерия былаунимодальной с одним экстремумом и не содержала точек разрыва.