Краткие теоретические сведения

    Полный факторный эксперимент 2ⁿ является достаточным для изучения общих тенденций, но недостаточным для подробного исследования функции отклика. Для его расширения следует использовать композиционные планы, в т.ч. центральный композиционный ротатабельный план (табл. 4,5)

    Опыты в центре плана могут повторяться. Как правило, окончательный план эксперимента записывают в ненормированных значениях факторов.

    Перед проведением эксперимента план, как правило, подвергают рандомизации – т.е. меняют местами строки в случайном порядке.

    После проведения эксперимента используют статистические методы обработки данных, прежде всего, регрессионный анализ.

    Регрессионный анализ (только линейную регрессию) можно проводить в Excel. Для этого можно либо воспользоваться пакетом «Анализ данных» (на вкладке «Данные»), либо функцией ЛИНЕЙН. Так как функция возвращает массив результатов, то её надо вводить соответствующим образом: запись можно начинать, только выделив пустой диапазон. Ширина диапазона должна быть равна числу всех факторов (m)+1, а высота – ровно 5 клеток. Первым параметром функции служит массив факторов (собственно план эксперимента), вторым – столбец со значениями параметра оптимизации. Для получения дополнительных данных (в т.ч. значения критерия Фишера) третий и четвёртый параметры должны иметь значение ИСТИНА (третий можно установить в ЛОЖЬ, если есть основания полагать, что свободный член  отсутствует, т.е. при нулевых значениях факторов параметр оптимизации точно должен равняться нулю). По окончании ввода надо нажимать не Enter, а Ctrl+Shift+Enter. Для линейной модели регрессии вида

Будет получена следующая таблица данных (никаких подписей и комментариев Excel не предоставляется):

		…
		…
R^2		–	–
F	f	–	–
SSрег	SSост	–	–

где  – среднеквадратическое отклонение коэффициента регрессии, R² – коэффициент детерминации,  – среднеквадратическое отклонение параметра оптимизации, F – критерий Фишера, f – число степеней свободы знаменателя; SS_рег – регрессионная сумма квадратов, SS_ост – остаточная сумма квадратов.

Однако линейная регрессия не подходит для последующего поиска оптимума, поэтому необходимо свести к линейной, как минимум, квадратичную регрессию. Для этого к двум факторам добавляют следующие столбцы: ; ; .

Тем не менее, нужно помнить и недостатки регрессионного анализа в среде Excel. Во-первых, не все сложные модели легко сводятся к линейным. Во-вторых, Excel не позволяет построить трёхмерный график соответствия. В-третьих, для проверки значимости коэффициентов регрессии требуются дополнительные расчёты.

Ход работы

Обучающиеся получают задание, включающее наименование оптимизируемого процесса, предлагаемые факторы и параметр оптимизации (с направлением оптимизации) и их естественные границы. Задание представлено в виде специальной программы (exe-файла под Windows или бинарного файла в формате ELF под linux). Этот же файл является имитационной моделью, т.е. способен генерировать значения параметра оптимизации для заданных факторов. Модель носит учебный характер и не отражает точно реальный процесс, для исследовательских целей её использовать нельзя. Типовая имитационная модель представлена программой, написанной на языке FreePascalв среде Lazarus (Приложение В). При постановке курса преподаватель разрабатывает и/или частично изменяет модели под группу обучающихся.

Первая задача обучающихся – провести нормализацию факторов (см. ПР № 3), т.е. написать формулу, переводящую любое значение каждого фактора (параметра) в нормализованное значение, а также рассчитать пограничные значения. Для факторов следует предположить, что они будут использованы в ЦКРП, т.е. рассчитать значения исходных факторов, соответствующие нормализованным–1; 0; +1; .

Далее обучающиеся заполняют указанные уровни в таблицу (табл.1) в MSExcel или LOCalc, после чего проводят рандомизацию. Рандомизированный план эксперимента реализуют на имитационной модели (в программе) построчно, перенося результат в таблицу.

Регрессионный анализ проводят с помощью Excel; результаты оформляют в виде уравнения регрессии, критерия Фишера. По критерию Фишера оценивают адекватность квадратичной модели.

Содержание отчёта

Общие требования к содержанию отчёта приведены в рамках практической работы № 1. В данной работе в разделе «ход работы» необходимо представить план и результаты эксперимента, результаты регрессионного анализа по линейной и квадратичной (сведённой к линейной) модели. В качестве вывода следует указать адекватность линейной и квадратичной моделей, а также привести их.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое полный факторный эксперимент 2²? Сколько опытов он включает?

2. Что включает в себя центральный композиционный ротатабельный план? Для чего его следует использовать?

3. Что такое регрессионный анализ? Для чего его можно использовать?

4. Какие требования к числу опытов в исходной выборке представляют в регрессионном анализе? Что такое число степеней свободы?

5. Как и для чего используют критерий Фишера в регрессионном анализе?

6. Как произвести сведение нелинейной модели к линейной?

 

 

Практическая работа № 5

Поиск значимых факторов с помощью плана Плакетта-Бермана

Цель работы: Изучить всю цепочку поиска оптимума модельного эксперимента.

Задачи:

1. Найти незначимые факторы с помощью плана Плакетта-Бермана и программы VVFreeStat (http://vvfstat.sf.net).

2. Провести и обработать эксперимент в соответствии с ЦКП.

3. Провести поиск оптимума функции с использованием программы Maxima.