Краткие теоретические сведения

Целый ряд параметров в пищевой промышленности имеет горизонтальную асимптоту. Такими параметрами могут быть концентрация извлечённого методом экстракции вещества в растворе, влажность продукта при сушке, температура при нагревании и т.п. Предельное (оптимальное) значение в этом случае достигается через бесконечное время (бесконечное количество стадий, бесконечный объём экстрагента и т.д.), чего на практике добиться невозможно. Однако, задаваясь допустимым отклонением от теоретического максимума/минимума (например, 5-10 %), довольно легко определить допустимым значение параметра и, как следствие, требуемую продолжительность процесса.

В простейших случаях поиск предельного значения легко осуществить теоретически (например, в случае нагревания он будет равен температуре среды; при экстракции он будет равен равновесному значению, которое, как правило, можно рассчитать; иногда такой расчёт затруднён). Однако существуют случаи, когда теоретический расчёт предельного значения требует знания дополнительных параметров (например, при обезвоживании достаточно сложно определить равновесную влажность для неизученного ранее материала). В таких случаях проще найти предельное значение на основе ряда данных.

В ряде случаев имеется несколько предельных значений: параметр сначала асимптотически стремится к одной величине, а затем резко пересекает её значение и устремляется к другой. Как правило, это свидетельствует о существенном изменении характера протекающих процессов; такие точки (часто называемые критическими) очень важны для дальнейших исследований.

Большинство процессов, в которых параметр оптимизации имеет предельное значение, легко описать уравнением

                                                            (1)

где  – предельное значение параметра оптимизации (при )

    b, k – коэффициенты регрессии

Тем не менее, такое уравнение не очень удобно для регрессионного анализа: ошибка определения предельного значения будет весьма велика. Поэтому при условии, что значение параметра оптимизации приближается к пределу, можно провести регрессионный анализ, используя в качестве уравнения регрессии другую асимптотическую функцию – гиперболу:

,                (2)

где  – начальное значение параметра оптимизации (при x =0);

 и  – коэффициенты регрессии, причём .

Значение  нежелательно определять по имеющимся данным в нулевой точке по следующим причинам:

1) в ряду имеющихся данных всегда имеется погрешность;

2) использование гиперболической модели эффективно только вблизи асимптоты, поэтому расчётное значение в нулевой точке может существенно отличаться от истинного, это не должно смущать исследователя.

Обработку данных по уравнениям (2) или (1) можно делать графически или же путём регрессионного анализа (уравнение (2) можно свести к линейной модели, а можно проводить нелинейную регрессию).

 

Ход работы

Обучающиеся получают задание на расчёт в виде таблицы данных. Затем они строят график зависимости параметра оптимизации y от фактора x (например, в MSExcel – точечная диаграмма) и выявляют возможность наличия асимптотической зависимости (в ряде случаев – нескольких зависимостей). При отсутствии явно выраженной горизонтальной асимптоты дальнейший анализ не имеет смысла.

Сначала обучающиеся пытаются построить регрессионную зависимость по уравнению (1) с использованием программы DataFit или VVFreeStat. Для такой зависимости можно брать все точки в случае одной асимптоты или последовательно точки до изменения характера зависимости и после такового при наличии двух асимптот. Полученное предельное значение (предельные значения) обучающиеся оставляют для сравнения.

Потом необходимо взять для исследования только те точки, где явно выражен асимптотический характер зависимости, проводя регрессию по уравнению (2). Желательно отметить наилучшее из полученных значений (кроме истинного) на графике.

Содержание отчёта

Общие требования к содержанию отчёта приведены в рамках практической работы № 1. В данной работе в разделе «ход работы» необходимо представить таблицы и результаты расчёта, а также график уравнений регрессии, полученных обоими методами. В качестве вывода следует указать найденное предельное значение (горизонтальную асимптоту) каждым методом и предположить, какой из них оказался более эффективным.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое предельное значение функции?

2. Почему не всегда удобно использовать непосредственный метод регрессионного анализа с использованием экспоненциальной функции?

З адани я для работы

1 вариант
x	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
y	19,4542	39,2395	45,6312	48,9138	49,5638	50,5653	50,0548	49,2226	49,3414	50,9691
2 вариант
x	0	4	6	8	10	12	14	16	18	20
y	14,8608	27,3002	30,8562	32,3494	33,1331	33,5913	34,1055	34,4398	34,7252	35,3264
3 вариант
x	0	4	6	8	10	12	14	16	18	20
y	4,87962	9,54813	10,9980	11,9086	12,9025	13,3210	13,9776	13,9320	14,4194	14,5576
4 вариант
x	0	4	6	8	10	12	14	16	18	20
y	50,0733	15,404	11,8752	10,6241	10,4574	10,0398	10,0281	10,2062	9,96281	10,2014
5 вариант
x	0	4	6	8	10	12	14	16	18	20
y	59,6792	46,4848	42,4052	38,9197	37,0920	35,3284	33,6493	32,6200	31,5463	31,0566
6 вариант
x	0	4	6	8	10	12	14	16	18	20
y	99,7264	60,3616	47,0836	37,8852	29,3699	24,5657	21,1635	17,9790	16,7960	14,8555
7 вариант
x	0	4	6	8	10	12	14	16	18	20
y	299,107	186,438	151,414	126,157	105,813	91,0676	80,9215	72,2128	66,0410	61,6086
8 вариант
x	0	4	6	8	10	12	14	16	18	20
y	2	2,07688	2,11308	2,14786	2,18127	2,21337	2,24422	2,27385	2,30232	2,32968
9 вариант
x	0	4	6	8	10	12	14	16	18	20
y	30	68,9099	72,7596	74,1758	75,0	103,445	113,910	117,760	119,176	119,697
10 вариант
x	0	4	6	8	10	12	14	16	18	20
y	40	52,9700	54,2532	54,7253	55,0	64,4818	67,9700	69,2532	69,7253	69,8989