Интегрирование простых дробей

Задача интегрирования рациональной дроби сводится к умению интегрирования только правильных рациональных дробей, так как интегрирование целой части дроби (многочлена) – задача не сложная. Если решена задача разложения правильной дроби на сумму простых дробей, то дальше надо уметь интегрировать простые дроби. Покажем, как интегрировать простые дроби (четыре типа).

 

I тип.

 

II тип.

III тип.

 

Интегрирование дроби IV типа проводится аналогично интегрированию дроби III типа.

 

 

Пример 22. Найти интеграл от дроби III типа:

(D = 16 – 52 < 0 Þ дробь III типа)

.

Ответ: .

Пример 23. Найти интеграл от дроби IV типа:

Ответ: .

 

Итак, любая рациональная дробь интегрируема. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1) Выделить целую часть дроби, если дробь является неправильной, т.е. представить в виде:

,

где T _{m – n} (x) и R _r (x) – многочлены степени m – n и r соответственно (причём           r < n).

2) Разложить правильную рациональную дробь  на сумму простых дробей.

3) Вычислить интегралы от многочлена T _{m – n} (x) и каждой из простых дробей, полученных на шаге 2).

Пример 24. Найти интеграл

1) Дробь  – неправильная рациональная дробь. Выделим её целую часть:

Поэтому можно записать:

.

 

2) Полученную правильную дробь  разложим на сумму простых дробей:

 

Отсюда следует: .

Значит, подынтегральную рациональную дробь можем представить в виде:

.

3) Найдём интеграл:

Ответ:

 

Интегрирование тригонометрических выражений

1) Интеграл вида

а) Если n – чётное число и m – чётное, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул:

 

,

б) Если одно из чисел m или n – нечётное, то выполняют замену:

t = sin x, если n – нечётное;

t = cos x, если m – нечётное.

Эта замена приводит к интегрированию степенных интегралов или рациональных дробей.

в) Если оба числа m и n – нечётные, то интеграл берется как в случае замены:

t = sin x, так и t = cos x.

Пример 25. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 26. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 27. Вычислить интеграл:

Ответ:

 

2) Интегралы вида:

; ;    

где

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

Пример 28. Вычислить интеграл:

Ответ:

 

3) Интеграл вида:  , где f (u; v) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной дроби с помощью замены:

 ;

;

; .

Пример 29. Вычислить интеграл:

.

Ответ: .

4) Интегралы вида: , где f (u; v) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы находят сведением к интегралу от рациональной дроби с помощью замены:

;

Пример 30. Вычислить интеграл:

Ответ:

5) Интегралы вида: ; , где .

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

;

или с помощью замены:

;

                   или .

Пример 31. Вычислить интеграл:

Ответ: