Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной)

Функция y = f (x) дифференцируема в точке x Î D (f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f ' (x). При этом f ' (x) = A.

Доказательство.

1) Необходимость: Дано: y = f (x) дифференцируема в точке х.

                        Доказать: A = f ' (x).

Так как функция y = f (x) дифференцируема в точке х, то по определению

D y = A × D x + (D x) × D x,

где (D x) ® 0 при D x ® 0.

Разделим это равенство на D x ≠ 0:

.

Перейдём к пределу при D x ® 0:

 существует, а значит f ' (x) = A.

Необходимость доказана.

2) Достаточность: Дано: f ' (x) – существует

                       Доказать: f (x) дифференцируема.

Так как существует f ' (x)= , то по свойству предела можно записать:

,

где (D x) ® 0 при D x ® 0.

Умножим это равенство на D x:

Þ функция y = f (x), дифференцируема в точке х.

Достаточность доказана.

Теорема 2 (связь дифференцируемости с непрерывностью функции)

Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x Î D (f), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то её приращение в этой точке можно представить в виде:

D y = A × D x + (D x) × D x,

где A = f ' (x) и (D x) ® 0 при D x ® 0.

Найдём предел от D y при D x ® 0:

Отсюда следует, что по определению 2 непрерывности функции в точке функция y = f (x) непрерывна в точке x.

Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.

 

Правила дифференцирования

Теорема 3. Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке x, то функция U (x) ± V (x) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(U (x) ± V (x))' =  (U (x))' ± (V (x))'.

Доказательство: Рассмотрим функцию y = U (x) ± V (x).

Тогда D y = D U ± D V. Разделим на D x и перейдём к пределу при D x ® 0:

так как по условию теоремы функции U (x) и V (x) дифференцируемы.

Значит, (U (x) ± V (x))' = U '(x) ± V '(x).

Теорема доказана.

Теорема 4. Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке х, то функция (U (x)× V (x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

(U (x) × V (x))' = (U (x))'× V (x) + U (x) × (V (x))'.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

D y = (U +D U)(V +D V) – U × V = U × V + U ×D V + V ×D U + D U ×D V – U × V =

= U ×D V + V ×D U + D U ×D V.

Разделим D y на D x и перейдем к пределу при D x ® 0:

так как по условию функции U (x) и V (x) дифференцируемы, а значит ,  и .

Следовательно,

(U (x)× V (x))' = U ' (x) × V (x) + U (x) × V ' (x).

Теорема доказана.

Следствия:

а) Если U (x), V (x) и W (x) дифференцируемы в точке х, то функция         (U (x)× V (x) × W (x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

 

(U × V × W)' = U '× V × W + U × V '× W + U × V × W '.

б) Производная     постоянной,    умноженной   на   дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции:

 

(C× U (x))' = C× U ' (x).

Теорема 5. Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке х и   V (x) ≠ 0, то функция  дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Разделим D y на D x и перейдём к пределу при D x ® 0:

,

Значит,

.

Теорема доказана.

Теорема 6 (производная сложной функции). Если функция f (u) дифференцируема в точке u, а функция u (x) дифференцируема в точке x, причём u = u (x), тогда сложная функция f (u (x)) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(f (u (x)))'  = f '(u) × u ' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f (u). Так как функция f (u) дифференцируема в точке u, то её приращение можно записать в виде:

,

где .

Разделим на D x и перейдём к пределу при D x ® 0:

 

Если D x ® 0, то D u ® 0, так как u (x) дифференцируема, а значит непрерывна, т.е.

 (f (u (x)))' = f ' (u) × u ' (x).

Теорема доказана.