Дифференцирование функции, заданной неявно

Пусть функция  задана неявно уравнением . Дифференцируя это равенство по x по правилу дифференцирования сложной функции, находим из полученного равенства y '.

Пример. Найти y ', если функция y задана уравнением:

x ³ + y ³ – xy = 0

Решение.

3 x ² + 3 y ² × y ’ – y – xy ’ = 0

y’(3y² – x) = y – 3x²

Ответ: .

Производные показательной и степенной функций

Теорема 7. Степенная функция y = x ^a (aÎR) дифференцируема при любом   x ÎR и справедлива формула:

(x ^a)' = a × x ^{a – 1}.

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = x ^a, предполагая x > 0:

ln y = a× ln x

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = x ^a неявно. Найдём производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y ':

Подставим в полученное равенство y = x ^a:

Теорема доказана.

Теорема 8. Показательная функция y = a^x (a > 0, a ≠ 1) дифференцируема при любом   x ÎR и справедлива формула:

(a^x)' = a^x × ln a

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = a^x:

ln y = x ln a.

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = a^x  неявно. Найдём производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y ':

y ' = y × ln a.

Подставим в полученное равенство y = a^x :

(a^x)' = a^x × ln a

Теорема доказана.

Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8 принимает вид:

(e^x)' = e^x × ln e  или  (e^x)' = e^x.

Теорема 9. Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U (x)) ^{V ( x )} дифференцируема в точке x и справедлива формула:

.

Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства   y = (U (x)) ^{V ( x )} по основанию логарифма e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.

 

Производные обратных тригонометрических функций

Теорема 10. Функция y = arcsin x дифференцируема при любом x Î(–1;1) и справедлива формула:

Доказательство: Функция y = arcsin x определена при x Î[–1;1] и область ее значений . Она монотонно возрастает на всей области её определения, поэтому имеет обратную функцию x = sin y. Уравнение   x = sin y можно рассматривать как неявное задание функции y = arcsin x. Найдём производную от обеих частей уравнения:

.

Выразим из полученного равенства y ':

.

Но  при .

Поэтому , так как .

Следовательно, получаем:

.

Теорема 11. Функция y = arсcos x дифференцируема при x Î(–1;1) и справедлива формула:

.

Теорема 12. Функция y = arctg x дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула:

.

Теорема 13. Функция y = arcсtg x  дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула:

.                                           

Теоремы 11, 12, и 13 доказываются аналогично теореме 10.

 

Дифференциал функции

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x, тогда её приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно D x, а второе слагаемое – бесконечно малая величина при  D x ® 0 (более высокого порядка малости по сравнению с D x):

 

,

где (D x) ® 0 при D x ® 0.

Определение 4. Слагаемое   называется главной линейной относительно D x частью приращения функции y = f (x), называемой дифференциалом этой функции. Дифференциал обозначается

 

d y = y ' (x)× D x.

Если x – независимая переменная, то справедливо равенство D x = d x, так как  (x)' = 1. Тогда формула для дифференциала записывается:

 

d y = y ' (x)× d x.

Так как второе слагаемое приращения функция – малая величина более высокого порядка малости по сравнению с D x, то между приращением функции и её дифференциалом можно приближённо поставить знак равенства. Это равенство тем точнее, чем меньше D x. На основе этого приближённого равенства получается приближённое представление значения дифференцируемой функции:

 

Пример. Вычислить приближённо

Решение. Рассмотрим функцию . В качестве начальной точки

возьмём x ₀ = 4, приращение D x = 0,08,  и подставим в формулу:

,

 где D << 0,08.