Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f (x) в некоторой окрестности точки x ₀ (рис. 6):

 

Рис. 6

Из D M ₀ AN

AN = M ₀ A ×tg a = D x × f '(x ₀) = d y.

Итак: дифференциал функции y = f (x) в точке x ₀ равен приращению ординаты касательной (AN), проведённой к кривой y = f (x) в точке (x ₀; f (x ₀)), при переходе от x ₀ к x ₀+D x (от точки М ₀ в точку М).

Инвариантность формы дифференциала

Теорема 14. Пусть функция y = f (u) дифференцируема в точке u, а функция        u = u (x) дифференцируема в соответствующей точке x (u = u (x)). Тогда для сложной функции y = f (u (x)) справедливо равенство:

 

d y = f '(u)d u = y '(x)d x.

Доказательство. Сложная функция y = f (u (x)) является дифференцируемой в точке x. Поэтому справедливо равенство:

 

d y = y '(x)d x.

Но так как функция y (x) = f (u (x)) сложная, то

 

y ' (x) = f ' (u) × u ' (x).

Поэтому  d y = y '(x)d x = f '(u)× u '(x)d x = f '(u)×d u, так как по условию теоремы функция u = u (x) дифференцируема в точке x, следовательно,

d u = u ' (x)×d x.

Теорема доказана.

 

Производные и дифференциалы высших порядков

Если функция y = f (x) дифференцируема на некотором промежутке, то она имеет   на   этом   промежутке   производную y ' = f ' (x),  которая   в   свою очередь может иметь производную: (y ')' = (f '(x))' = y '', называемую второй производной функции y = f (x). Она обозначается:

Может случиться, что новая функция y ''(x) имеет производную, тогда она называется третьей производной функции y =   f (x) и обозначается:

 

Производная “ n ”-го порядка функции y = f (x) обозначается:

Дифференциалом второго порядка функции y = f (x)  в точке x называется выражение, обозначаемое d² y и вычисляемое по формуле:

,

если x – независимая переменная.

Дифференциал третьего порядка функции y = f (x):

,

если x – независимая переменная, и т.д.

Замечание. Дифференциал уже второго порядка не обладает свойством инвариантности формы.

 

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, т.е. для любых

x Î [ a; b ] выполняется неравенство:

m ≤   f (x)  ≤ M.

Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то для любого  числа С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [ a; b ] найдётся хотя бы одна точка х ₀, в которой выполняется равенство:

f (х ₀) = С.

Теорема 3. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и на концах этого отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка х ₀ Î (a; b), в которой выполняется равенство:

f (х ₀) = 0.

Теорема Ролля

Теорема 4 (теорема Ролля). Если функция f (x) определена на отрезке [ a; b ] и выполнены следующие условия:

· f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ];

· f (x) дифференцируема на интервале (a; b);

· f (a) = f (b),

то внутри этого отрезка [ a; b ] найдется хотя бы одна точка х ₀, в которой выполняется равенство:

f '(х ₀) = 0.

Доказательство. Так как f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.

Возможны два случая:

m = M и m < M.

· Если m = M, то   f (x) = const = m = M. Тогда   f '(x) = 0 при любом   x Î [ a; b ]. Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х ₀ можно рассматривать любое значение x Î [ a; b ].

· Если m < M, то исходя из условия f (a) = f (b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f (a) = f (b). Для определённости предположим, что M – наибольшее значение f (x) достигается не на концах отрезка [ a; b ], а в некоторой внутренней точке х ₀ Î (a; b). Тогда в точке х ₀ для приращения функции справедливо неравенство: D y = f (х ₀ + D x) – f (х _о) ≤ 0, так как f (х ₀) = M – наибольшее значение f (x) на  отрезке [ a; b ] и D x такое, что   х ₀ + D x Î [ a; b ].

· Если D x > 0, то и существует

· Если D x < 0, то  и существует

Так как по условию теоремы функция f (x) дифференцируема при x Î (a; b), то в точке х _о  существует производная. Значит справедливы равенства:

f ' (х ₀ + 0) = f ' (х ₀ – 0) = f ' (х ₀) = 0.

Теорема доказана.