Исследование поведения функций

 

Асимптоты плоской кривой

Определение 1. Если точка M (x; y) перемещается по кривой y = f (x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к ¥ и при этом расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется асимптотой кривой y = f (x).

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.

Определение 2. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой   y = f (x), если хотя бы один из односторонних пределов  или  равен +¥ или – ¥.

Замечание. Если прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой            y = f (x), то в точке x = a функция   f (x) имеет разрыв второго рода. Наоборот, если в точке x = a функция f (x) имеет разрыв второго рода, то прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой   y = f (x).

Определение 3. Прямая  называется наклонной асимптотой кривой  при  (или ), если функцию f (x) можно представить в виде:

,

где (x) – бесконечно малая функция при  (или ).

Теорема 1. Для того чтобы кривая y = f (x) имела наклонную асимптоту при  (или ) необходимо и достаточно существования двух конечных пределов:

  и

Доказательство. Ограничимся случаем .

Необходимость. Пусть y = kx + b – наклонная асимптота при  кривой       y = f (x). Тогда функцию   f (x) представим в виде:

 

, где  при .

Убедимся в существовании конечных пределов:

.

.

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть существуют конечные пределы  и .

Тогда по свойству конечных пределов второй предел можно переписать в виде:

, 

где (x) – бесконечно малая  величина при .

Отсюда получаем:

,

где  при .

Достаточность доказана.

Пример 1. Найти асимптоты кривой .

Решение.

1) D (y) = (–¥;–1) È (–1;1) È (1;+ ¥).

2) Точки x = –1 и x = 1 являются точками разрыва второго рода, так как:

 

 

Поэтому прямые x = –1 и x = 1 являются вертикальными асимптотами.

3) Вычислим пределы:

, k = 1.

Отсюда следует, что при  прямая y = 1× x +0, т.е.   y = x – наклонная асимптота при .

Найдём наклонную асимптоту при .

Вычисляя те же пределы при , получим k = 1 и b = 0, т.е. прямая   y = x является наклонной асимптотой при .

Ответ: x = ± 1 – вертикальные асимптоты

    y = x – наклонная асимптота при x ® ±¥.

Монотонность функции

Определение 4. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a; b), если для любых x ₁ и x ₂, принадлежащих этому промежутку, из условия x ₂  > x ₁ следует неравенство:

 

f (x ₂) > f (x ₁)   (f (x ₂) < f (x ₁)).

 

Определение 5. Функция y = f (x) называется монотонной на промежутке (a; b), если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Теорема 2 (достаточные условия монотонности). Если функция y = f (x) дифференцируема на промежутке (a; b) и f ’ (x) > 0 (f ’ (x) < 0) для любых x Î (a; b), то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Возьмём любые два значения x ₁ и x ₂ из промежутка (a; b). Для определённости предположим, что x ₂ > x ₁.

На отрезке [ x ₁; x ₂] функция y = f (x) непрерывна и дифференцируема (из условия теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке     [ x ₁; x ₂], т.е. существует хотя бы одна точка c Î (x ₁; x ₂), в которой выполняется равенство:

f (x ₂) – f (x ₁) = f ' (c) × (x ₂ – x ₁).

Если f '(x) > 0 для любых x Î(a; b), то f '(c) > 0. Поэтому f (x ₂) – f (x ₁) > 0, т.е. из условия x ₂ > x ₁ следует неравенство f (x ₂) > f (x ₁). А так как x ₁ и x ₂  –любые значения из промежутка (a; b), то функция y = f (x) возрастает на этом промежутке.

Если  для любых , то . Поэтому , то есть из условия x ₂ > x ₁ следует неравенство   f (x ₂) < f (x ₁). Так как x ₁ и x ₂ любые значения из промежутка (a; b), то функция   y = f (x) убывает на этом промежутке.

Теорема доказана.

Экстремумы функции

Определение 6. Функция y = f (x) имеет в точке x ₀Î D (f) максимум y _{m ax} (минимум y _min), если существует такая окрестность точки x ₀, в которой для всех x выполняется неравенство:

 

f (x ₀) > f (x) (f (x ₀) < f (x)).

Определение 7. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если функция y = f (x) имеет экстремум в точке x ₀, то в этой точке производная функции равна нулю или не существует.

Доказательство. 1)Для определённости рассмотрим случай, когда функция       y = f (x) в точке x ₀ имеет максимум и в этой точке существует производная. Тогда из определения максимума для любого x, принадлежащего окрестности точки   x ₀    f (x ₀) > f (x).

Отсюда следует, что для любого D x ≠ 0 справедливо неравенство:             f (x ₀+D x) – f (x ₀) < 0. Разделим это неравенство на D x, получим:

при D x > 0:

при D x < 0:

 

Перейдём к пределам:

 

Так как  существует, то:

Аналогично рассматривается случай, когда x ₀ – точка минимума.

2) Если f '(x ₀) не существует или равна ¥, то точка x ₀ может быть точкой экстремума функции.

Например, функция y =  имеет минимум при x = 0, хотя y '(0) не существует (рис. 9).

Рис. 9

 

Теорема доказана.

Теорема 4 (достаточное условие экстремума). Если функция y = f (x) непрерывна в точке x ₀, дифференцируема в некоторой её окрестности, за исключением может быть самой этой точки, f ’ (x ₀) = 0 или не существует и при переходе x через точку x ₀  производная f '(x) изменяет знак, то точка x ₀  является точкой экстремума. Если при этом знак f '(x) меняется

 с + на –,  то x ₀  – точка максимума,

с – на +,  то x ₀  – точка минимума.

Доказательство. Пусть f '(x) при переходе x через точку x ₀ изменяет знак  с 

+  на  –, т.е.   f '(x) > 0  при x Î (x ₀ – d; x ₀) и   f '(x) < 0  при x Î (x ₀; x ₀ + d),  где  d > 0 (рис. 10).

Рис. 10

 

1) Пусть x Î (x ₀ – d; x ₀). На отрезке [ x; x ₀] функция y = f (x) удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит, на интервале (x; x ₀) найдётся хотя бы одна точка c ₁, в которой выполняется равенство:

f (x) – f (x ₀) = f '(c ₁)×(x – x ₀),

 где c ₁Î (x ₀ – d; x ₀).

Так как   f '(c ₁) > 0 и x – x ₀ < 0, то f (x) – f (x ₀) < 0.                          

 

2) Пусть . На отрезке  функция  также удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит на интервале (x ₀; x) найдётся хотя бы одна точка с ₂, в которой выполняется равенство:

 

f (x) – f (x ₀) =   f ’ (c ₂)×(x – x ₀),  

где c ₂ Î (x ₀; x ₀ + d).

Так как   f '(c ₂) < 0  и x – x ₀  > 0, то f (x) – f (x ₀) < 0.

 

Следовательно, для любого x Î (x ₀ – d; x ₀ + d) выполняется неравенство: 

f (x ₀) > f (x).

Отсюда следует, что точка x ₀ является точкой максимума функции y = f (x). Аналогично рассматривается случай, когда при переходе x через точку x ₀ изменяет знак с – на +. При этом точка   x ₀  является точкой минимума функции .

Теорема доказана.