Определение функции одной переменной

Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f (x) с областью определения X = D (f) и областью изменения    Y = E (f). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.

Частным значением функции y = f (x) при фиксированном значении аргумента   x = x₀ называют y ₀ = f (x ₀).

Графиком функции   y = f (x) называют геометрическое место точек M (x; f (x)) на плоскости Oxy, где x Î D (f) и   f (x) Î E (f).

 

2. Способы задания функции

1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.

Различают несколько способов аналитического задания функции:

а) Функция задана явно формулой y = f (x).

Например: , где   D (y) = (– ∞;1) (1;+∞).

б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y: F (x; y) = 0.

Например:  – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r. Если из этого уравнения выразить y через x, то получится две функции:

и ,

которые имеют область определения , а области значений этих функций будут: для первой – , для второй – .

в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t, причём и аргумент x, и функция y зависят от этого параметра:

Например: можно задать окружность  с помощью параметрических уравнений:

2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x, y = cos x и др.

3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

 

Сложная и обратная функции

Определение 1. Пусть функция y = f (U) определена на множестве D (f), а функция U = g (x) определена на D (g), причём E (g) D (f).

Тогда функция y = F (x) = f (g (x)) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g).

Определение 2. Пусть задана функция y = f (x) взаимно однозначно отображающая множество X = D (f) на множество Y = E (f).

Тогда функция x = g (y) называется обратной к функции y = f (x), т. е. любому y E (f) соответствует единственное значение x D (f), при котором верно равенство y = f (x).

Замечание. Графики функций y = f (x) и x = g (y) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x, а зависимую   y, то графики функций y = f (x) и y = g (x) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

 

Элементарные функции

Основные элементарные функции:

y = const (постоянная функция), D (y) = R; E (y) = c.

(линейная функция), D (y) = R; E (y) = R.

y = (степенная функция), α Î R, E (y), D (y) зависят от α.

y =  (показательная функция), a > 0, a ≠ 1, D (y) = R, E (y) = (0;+∞).

y = (логарифмическая функция)), a > 0, a ≠ 1, D (y) = (0;+∞), E (y) = R.

Тригонометрические функции:

y = sin x, D (y) = R, E (y) = .

y = cos x, D (y) = R, E (y) = .

y = tg x, D (y) = , E (y) = R.

y = ctg x, D (y) = , E (y) = R.

Обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x, D (y) = , E (y) = .

y = arccos x, D (y) = , E (y) = .

y = arctg x, D (y) = R, E (y) = .

y = arcctg x, D (y) = R, E (y) = .

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

 

Графики обратных тригонометрических функций: 

 

y = arcsin x Рис. 1	y = arccos x                     Рис. 2
y = arctg x Рис. 3	y = arcctg x Рис. 4

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1. Предел функции в конечной точке x₀

Определение 1. Окрестностью точки x ₀называется любой интервал, содержащий точку x ₀:

.

Определение 2. d-Окрестностью точки x ₀называется интервал (; ), длина которого 2d, симметричный относительно x ₀:

Определение 3. Проколотой d-окрестностью точки x ₀ называется d-окрестность точки x ₀ без самой точки x ₀:

Определение 4. Число А называется пределом функции f (x) при x ® x ₀, если для любого малого числа ε > 0 существует такое малое число , что для любого x, принадлежащего D(f) и проколотой   δ-окрестности точки x ₀, т.е. , выполняется неравенство: .

Итак:  и .

Односторонние пределы

Определение 5. Число А называется правым (левым) пределом функции   y = f (x) в точке x ₀, если для любого малого числа ε > 0 найдётся другое малое число – такое, что для всех  и лежащих в правой (левой) окрестности точки x ₀, т.е. , справедливо неравенство: .

При этом используют следующие обозначения:

 – для правого предела.

– для левого предела.

Замечание 1. Если f (x) имеет в точке x ₀, предел равный А, то существуют и  и справедливо равенство:

.

Замечание 2. Если f (x) имеет в точке x ₀ правый  и левый  пределы, равные между собой, то в точке  функция f (x) имеет предел, равный числу:

.

Замечание 3. Если f (x) имеет в точке x ₀ правый  и левый  пределы, но они не равны между собой, то в точке x ₀ функция f (x) не имеет предела.