Основные теоремы о конечных пределах

Теорема 1. Функция f (x) имеет конечный предел в точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: f (x) = А +a(x), где a(x)– бесконечно малая функция в точке .

Доказательство этой теоремы вытекает из определения предела функции в точке и определения бесконечно малой функции в точке.

Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций f (x) и g (x) в точке ,то существует конечный предел суммы этих функций в точке ,равный сумме пределов этих функций.

Доказательство: Пусть , тогда по теореме 1    f (x) = А +a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке x ₀. Пусть , тогда по теореме 1 g (x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке x ₀. Рассмотрим сумму этих функций:

  f (x) + g (x) = A + a(x) + B + β(x) = (A + B) + a(x) + β(x).

Обозначим  γ(x) = a(x)+ β(x) – бесконечно малая функция в точке x ₀ ( по свойству 1 бесконечно малых функций). Получим f (x) + g (x)= A + B + γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций f (x) и g (x) в точке ,то существуетпредел произведения этих функций в точке ,равный произведению пределов этих функций.

Доказательство: Пусть , тогда по теореме 1: f (x) = А +a(x), где a(x)– бесконечно малая функция в точке . Пусть , тогда по теореме 1: g (x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке . Рассмотрим произведение этих функций:

f (x) × g (x) = (А +a(x))(B + β(x)) =   A × B + B ×a(x) + A × β(x) +a(x) ×β(x).

Обозначим: B ×a(x)+ A ×β(x) + a(x) ×β(x) = γ(x), где γ(x) – бесконечно малая функция в точке   (посвойствам бесконечно малых функций). Получим:        f (x)× g (x) = A × B + γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 4. Если существуют конечные пределы f (x) и g (x), причём , то существует предел частного этих функций  в точке ,равный частному пределов этих функций, т. е.: если существует     и существует , B ≠ 0,   то  существует

 (доказать самостоятельно).

Теорема 5  (о пределе трёх функций). Если существуют равные конечные пределы функций f (x) и g (x) в точке :

и при стремлении x к x ₀выполняется неравенство:

 φ(x)

то существует  φ(x), равный А.

Доказательство: Возьмем любое e > 0. Вычитая из всех частей двойного неравенства, данного в условии, число A, получим

                                φ(x)                             (*)

Так как

,

то найдётся такое d₁, что для всех x ¹ x ₀, удовлетворяющих условию

,

будет верно неравенство

,

или, что то же,

                                                                                    (*)

Аналогично для функции g (x) найдётся такое d ₂, что для всех x ¹ x ₀, удовлетворяющих условию

,

будет верно неравенство

                                         .                                            (*)

Из неравенств, отмеченных (*), следует, что

 φ(x) ,

или, что то же самое 

|φ(x)

для всех x ¹ x _0,  удовлетворяющих условию , где d – меньшее из d₁ и d₂. Это означает, что

φ(x).

Теорема доказана.

 

Первый замечательный предел

Теорема 6. Предел функции  в точке  существует  и  равен 1, т.е. .

Доказательство:

1) Пусть угол   x > 0 (x ). Площади  соотносятся:

                                                                        (1)

;  ; ,

где угол х в радианах.

Подставим в соотношение (1) полученные значения площадей:

,

,

Так как все части двойного неравенства положительные, выражение можно переписать так:

Так как  то по теореме 5:

.

2) Пусть x < 0 (x )

(по доказанному в первом случае). Следовательно,

.

Теорема доказана.

 

Второй замечательный предел

Теорема 7. Предел функции  при x существует и равен числу e, т.е.

.

Замечание. Число e является пределом последовательности , причем это число иррациональное, т.е. представляется бесконечной непериодической  десятичной дробью: e = 2,7182818284590…. Более того, число e трансцендентное, т.е. не является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. В математическом анализе это число играет особую роль, в частности, является основанием натурального логарифма. Показательная функция с основанием e: , называется экспонентой.