Геометрический смысл теоремы Ролля

С геометрической точки зрения теорема Ролля означает, что график функции, непрерывной на отрезке [ a; b ], дифференцируемой на интервале (a; b) и принимающей на концах отрезка равные значения, имеет хотя бы одну точку с координатами (х ₀ ; f (х ₀)), где х ₀Î (a; b), в которой касательная параллельна оси O x (рис. 7).

Рис. 7

Теорема Лагранжа

Теорема 5 (теорема Лагранжа). Если функция f (x) определена на отрезке [ a; b ] и выполнены следующие условия:

· f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ],

· f (x) дифференцируема на интервале (a; b),

то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х ₀, в которой выполняется равенство:

f ' (х ₀) = .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F (x) =   f (x) + l× x, где l = const. Потребуем, что бы для F (x) выполнялось условие F (a) = F (b).

Так как F (a) =   f (a) + l× a и F (b) =   f (b) + l× b, то получим равенство:

f (a) + l× a =   f (b) + l× b.

Отсюда выразим значение l:

l = – .

При этом значении l функция F (x) = f (x) – .

Функция F (x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

· F (x) непрерывна на отрезке [ a; b ]:

· F (x) дифференцируема на интервале (a; b)

· F (a) = F (b).

Следовательно, по теореме Ролля на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка х ₀, в которой выполняется равенство:

F '(х ₀) = 0.

Найдём F '(x):

F '(x) = f '(x) – .

Поэтому F '(x ₀) = f '(х ₀) – = 0, если   f '(х ₀) = .

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

С геометрической точки зрения теорема Лагранжа означает, что график функции, непрерывной на отрезке [ a; b ] и дифференцируемой на интервале (a; b), имеет хотя бы одну точку (х ₀; f (х ₀), в которой касательная параллельна секущей, проходящей через точки A (a; f (a)) и B (b; f (b)) (рис. 8) 

 

Рис. 8

Теорема Коши

Теорема 6 (теорема Коши). Если функции f (x) и g (x) определены на отрезке [ a; b ] и удовлетворяют условиям:

· f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [ a; b ];

· f (x) и g (x) дифференцируемы на интервале (a; b);

· g '(x) ¹ 0 при любом x Î (a; b),

то внутри отрезка [ a; b ] найдётся хотя бы одна точка х ₀, в которой выполняется равенство:

.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 5 (теорема Лагранжа) при вспомогательной функции

F (x) = f (x) + l × g (x),

где l = const, которую выбирают так, чтобы F (a) = F (b).

Правило Лопиталя

Теорема 7 (правило Лопиталя). Если функции f (x) и g (x) определены в некоторой окрестности точки х ₀ и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

· f (x) и g (x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может быть самой точки х ₀;

· g '(x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;

·  или ,

тогда, если существует  конечный или бесконечный, то выполняется равенство:

= .

Замечание 1. Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей типа  или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределённость другого типа: 0×∞, , 1⁰, 0⁰ или ∞⁰, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределённость приводится к  или  и тогда можно применить правило Лопиталя.

Замечание 2. Если к условиям теоремы 7 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g '(x) в окрестности точки х ₀, то при выполнении остальных требований для f '(x) и g '(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство:

 

 =  =

Пример 1. Вычислить предел:

Пример 2. Вычислить предел:

Пример 3. Вычислить предел:

Пример 4. Вычислить предел:

.

Пример 5. Вычислить предел:

Пример 6. Вычислить предел: