Основные сведения о статической модели

 

Статистические модели используются при различных уровнях текущего планирования от народного хозяйства в целом до отдельного предприятия. Эти модели представляет собой систему линейных алгебраических равенств

, ,                          (11.1)

где   -  валовой и конечный объемы продукта i-го вида (отрасли), руб.;

  -  коэффициент прямых затрат продукции i-го вида, руб./руб.

В матричной форме система (11.1) имеет вид

,                                         (11.2)

где ,   -  векторы конечного и валового объема;

-  единичная матрица;

  -  матрица коэффициентов прямых затрат.

Модель (11.2) позволяет по заданному вектору X определять вектор Y. Если существует обратная матрица , возможно решение обратной задачи нахождения вектора валового объема производства X, необходимого для выпуска конечного продукта, заданного вектором Y

.                                            (11.3)

Матрица  получила название матрицы коэффициентов полных затрат. Коэффициент  полных затрат численно равен валовому объему продукции i-гo вида, необходимому для производства единицы конечного продукта j-гo вида.

Важной характеристикой балансовой системы является продуктивность матрицы А. Матрица А называется продуктивной, если любому  соответствует . Обратное утверждение не всегда верно. При некоторых  условие  может нарушаться и при продуктивной матрице. Признак продуктивности матрицы А характеризуется выполнением условия

.                                        (11.4)

Коэффициенты полных затрат определяются по известным коэффициентам прямых затрат на основе использования следующих соотношений:

а) ,                                                                     (11.5)

где   - главный определитель матрицы  системы (11.2);

  -  определитель, получаемый из главного определителя  системы (11.2) вычеркиванием j-й строки и i-го столбца;

б) приближенный способ, используемый только для продуктивной матрицы A

;

в) обращения матрицы

.                                     (11.6)

Если ,  где , то .

Полагая в системе (11.6) неизвестными элементы матрицы S, получаем уравнения, используемые для их определения.

Пример 11.1. Для экономической системы, состоящей из трех отраслей, связанных взаимными поставками, известны максимально возможные отраслевые валовые выпуски

; ;

Коэффициенты прямых затрат составляют

Определить: а) продуктивность матрицы А; б) объем конечного продукта по отраслям.

Решение

а) Используя соотношение (11.4) устанавливаем, является ли матрица А продуктивной

.

Условие (11.4) выполняется, следовательно матрица А − продуктивная.

б) Для определения объема конечного продукта по отраслям необходимо воспользоваться уравнениями системы (11.1)

 млн.руб.;

 млн.руб.;

 млн.руб.

Так как , для поддержания запланированных объемов производства необходимы поставки в систему из забалансового источника продукции второй отрасли на 0,355 млн.руб.

Задача 11.1. Для системы, состоящей из трех отраслей со значениями коэффициентов прямых затрат, приведенными в примере 11.1, определить по заданному вектору конечного выпуска :

а) отраслевые валовые объемы;

б) объемы межотраслевых поставок .

Задача 11.2. Имеется двухотраслевая балансовая система с матрицей прямых затрат

.

Отраслевые производственные возможности составляют ;  Определить:

а) максимально возможный конечный выпуск при соблюдении пропорции ;

б) величину неиспользованных производственных возможностей при заданной структуре конечного потребления.

Задача 11.3. Для значений коэффициентов прямых затрат из примера 11.1 определить коэффициенты полных затрат.