Задача оптимального распределения производственной программы по календарным периодам

 

Одной из основных задач экономики предприятия является оптимальное распределение производственной программы по календарным периодам. Ее решение рассмотрим на примере 7.1.

Пример 7.1. В механическом цехе машиностроительного предприятия в течение квартала должны быть обработаны три вида деталей. Количество деталей вида A – 400 шт., вида B – 300 шт. Для обработки деталей цех располагает двумя группами оборудования. Трудоемкость обработки единицы каждого вида деталей и месячные фонды времени работы оборудования каждой группы представлены в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Группа оборудования	Трудоемкость обработки детали, ст.-ч			Фонд времени работы оборудования по месяцам, ст.-ч
	А	В	С	Январь	Февраль	Март
I	2	1	2	800	720	900
II	3	2	1	600	870	1230

Требуется распределить производство трех видов деталей по месяцам квартала, при котором обеспечивалась бы максимальная загрузка оборудования.

Решение

Распределение производственной программы по календарным периодам будет считаться оптимальным, если обеспечивается максимальная загрузка оборудования или недогрузка оборудования минимальная. Данную задачу следует решать отдельно для каждого месяца.

Целевая функция, характеризующая величину недогруженности оборудования, определяется по формуле

,

где   -  количество деталей j-го вида, выпускаемых в k-м месяце;

- трудоемкость  обработки  детали  j-го  вида  на  оборудовании  i-й группы;

  -  фонд времени работы оборудования i-й группы в k-м месяце;

-  количество групп технологического оборудования, на которых обрабатываются детали;

  -  количество обрабатываемых деталей.

Для января целевая функция будет иметь вид

.

На целевую функцию накладываются следующие ограничения:

- ограничения по ресурсам

;

- ограничения по ассортименту

,

где ,  - наименьшее и наибольшее возможное количество изделий j-го вида, выпускаемых в k-м месяце.

Величина  обычно оговаривается в условии задачи или принимается равной нулю, а величина

,

где   - программа выпуска изделий j-го вида за рассматриваемый период.

Для января ограничения по ассортименту будут следующие

;

;

.

Математическая постановка задачи для января приводится к виду, удобному для заполнения первой симплекс-таблицы. Для этого от ограничений-неравенств переходят к ограничениям-равенствам путем введения дополнительных переменных

Начальное допустимое базисное решение имеет следующий вид

.

Базисные переменные необходимо выразить через свободные и устремить целевую функцию к максимуму

Решение задачи представлено в табл. 7.2 - 7.4.

Таблица 7.2

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
		↑
	800	2	1	2
	600	3	2	1
	400	1	0	0
	600	0	1	0
	300	0	0	1
	-1400	-5	-3	-3

Таблица 7.3

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
				↑
	400
	200
	200
	600	0	1	0
	300	0	0	1
	-400

Таблица 7.4

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
	0
	100
	300
	600	0	1	0
	300	0	0	1
	0

В табл. 7.4 получено оптимальное решение задачи для января. Для того чтобы свести недогрузку оборудования в январе к минимуму (к нулю), необходимо обработать 100 деталей вида A и 300 деталей вида C, при этом программа (квартальная) по деталям вида C будет полностью выполнена и в дальнейшем решении задачи детали вида C рассматриваться не будут.

Математическая постановка задачи для определения производственной программы в феврале будет иметь следующий вид:

- целевая функция

;

- ограничения по ресурсам

- ограничения по ассортименту

;

.

Математическую постановку задачи необходимо привести к виду, удобному для заполнения первой симплекс-таблицы (табл. 7.5).

Таблица 7.5

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
		↑
	720	2	1
	870	3	2
	300	1	0
	600	0	1
	-1590	-5	-3

Далее строится вторая симплекс-таблица (табл. 7.6).

Таблица 7.6

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
	140
	290
	10
	600	0	1
	-140

Эта симплекс-таблица содержит оптимальное решение. Для того чтобы свести недогрузку оборудования в феврале к минимуму (140 ст.-ч недогрузка оборудования группы I), необходимо обработать 290 деталей вида А.

Математическая постановка задачи для определения производственной программы в марте будет иметь следующий вид:

- целевая функция

;

- ограничения по ресурсам

- ограничения по ассортименту

;

.

Математическую постановку задачи необходимо привести к виду, удобному для заполнения первой симплекс-таблицы (табл. 7.7).

Таблица 7.7

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
		↑
	900	2	1
	1230	3	2
	10	1	0
	600	0	1
	-2130	-5	-3

Дальнейшее решение содержится в табл. 7.8 и 7.9.

Таблица 7.8

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
			↑
	880	-2	1
	1200	-3	2
	10	1	0
	600	0	1
	-2080	5	-3

Таблица 7.9

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
	280
	600
	10	1	0
	0
	-280

В табл. 7.9 получено оптимальное решение. В марте будут обработаны все оставшиеся детали, а именно: 10 деталей вида А и 600 деталей вида В, при этом оборудование группы II будет полностью загружено, а недогрузка оборудования группы I составит 280 ст.-ч.

Таким образом, оптимальное распределение производства трех видов деталей по месяцам первого квартала представлено в табл. 7.10.

Таблица 7.10

Вид детали	Количество обрабатываемых деталей по месяцам, шт.
	Январь	Февраль	Март
А	100	290	10
B	-	-	600
C	300	-	-

Задача 7.1. Машиностроительное предприятие в течение квартала выпускает три вида изделий. Квартальная программа по каждому виду изделий составляет соответственно 400, 200 и 300 шт. На каждое изделие расходуются материалы трех видов. Нормы расхода материалов и их запасы на начало каждого месяца приведены в табл. 7.11.

Таблица 7.11

Вид материала	Норма расхода материала на изделие, кг			Запас материала по месяцам, кг
	A	B	C	Январь	Февраль	Март
1	4	0	2	700	580	920
2	1	3	2	760	720	650
3	2	2	1	600	750	860

Необходимо составить производственную программу таким образом, чтобы величина остатков оборотных средств на конец каждого месяца была бы минимальной (остатки сырья после каждого месяца в дальнейших расчетах не учитывать).

Задача 7.2. Машиностроительное предприятие в течение квартала выпускает три вида изделий. Квартальная программа по каждому виду изделий составляет соответственно 350, 280 и 200 шт. Каждое изделие проходит обработку на трех операциях. Трудоемкость обработки единицы каждого вида изделия и месячные фонды времени работы оборудования на каждой операции представлены в табл. 7.12.

Таблица 7.12

Номер операции	Трудоемкость обработки изделия, нормо-ч			Фонд времени работы оборудования, ст.-ч
	A	B	C	Январь	Февраль	Март
1	2	1	5	1000	900	800
2	4	3	0	870	760	820
3	1	2	4	640	610	680

Необходимо определить оптимальный план производства трех видов изделий, при этом выпуск изделия C в январе должен составлять 100 шт., а изделия A – не более 120 шт.

Задача 7.3. Машиностроительное предприятие в течение квартала выпускает четыре вида изделий. Квартальная программа по каждому виду изделий составляет соответственно 210, 300, 120 и 350 шт. Каждое изделие проходит обработку на двух операциях. Трудоемкость обработки каждого вида изделий и месячные фонды времени работы оборудования на каждой операции представлены в табл. 7.13.

Таблица 7.13

Номер операции	Трудоемкость обработки изделия, нормо-ч				Фонд времени работы оборудования, ст.-ч
	A	B	C	D	Январь	Февраль	Март
1	4	2	1	6	800	768	1400
2	2	5	2	3	1000	840	1100

Необходимо определить оптимальный план производства четырех видов изделий, при этом выпуск изделий B в январе должен составить 100 шт., а изделий D – не менее 50 шт.

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА