Моделирование динамических процессов

Основные положения моделирования динамических процессов

 

Моделирование динамических процессов позволяет проследить изменение во времени наиболее существенных параметров экономической системы с целью их регулирования. Например, процесс расширенного воспроизводства при агрегированном представлении параметров имеет структуру, представленную на рис. 10.1.

Рис. 10.1. Структура модели расширенного воспроизводства:

y(t) - текущий объем (интенсивность) выпуска конечного продукта;

g(t) - интенсивность капитальных вложений в расширение основных

фондов (инвестиции); c(t) - интенсивность непроизводственного

потребления; x(t), l(t) - текущие объемы предметов труда и живого труда;

r(t) - объем основных производственных фондов; t_к - среднее время

запаздывания в освоении основных производственных фондов;

k - усредненный коэффициент приростной фондоемкости, численно равный приращению объема валового продукта на 1 рубль капиталовложений;

F - производственная функция

При  процесс расширенного воспроизводства описывается дифференциальным уравнением вида

,                                        (10.1)

где   - капитальные затраты, необходимые для прироста на единицу интенсивности выпуска конечного продукта;

  -  усредненный коэффициент приростной фондоемкости по конечному продукту, численно равный приращению объема конечного проекта на 1 руб. капиталовложений;

  -  доля конечного продукта; направляемая в фонд капитального строительства.

Решение дифференциального уравнения (10.1) имеет вид

, где .                          (10.2)

Если  дифференциальное уравнение, описывающее процесс расширенного воспроизводства, примет вид

.                                    (10.3)

Решение дифференциального уравнения (5.3) имеет вид

,                                (10.4)

где   - корни характеристического уравнения

;                           (10.5)

  -  коэффициенты,  зависящие от параметров системы и начальных условий.

Если , процесс воспроизводство носит колебательный характер и при  решение дифференциального уравнения (10.3) имеет вид:

.                                (10.6)

Если , интенсивность конечного выпуска изменяется по апериодическому закону и при  решение дифференциального уравнения (10.3) имеет вид

.                     (10.7)

Характер процесса воспроизводства определяется параметрами системы:

a)  − апериодический;

b)  − колебательный.

Пример 10.1. Показать, что в модели без запаздывания в освоении капиталовложений  расширенное воспроизводство обеспечивается при любом разделении конечного продукта на конечное потребление и инвестиции.

Решение

Чтобы найти условия расширенного воспроизводства, достаточно показать, что функция (5.2) монотонно возрастает, то есть ,  при .

Действительно,  при любом ;

 при любом .

Пример 10.2. Решить уравнение процесса воспроизводства при следующих значениях параметров: ; ; ; .

Решение

Используя соотношение (10.5):

,

определяют корни  и

; .

В результате решения системы двух уравнений

рассчитываются величины  и , которые составят , .

Так как корни вещественные, интенсивность конечного выпуска определяется по формуле (10.7):

.

Задача 10.1. Исследовать процесс изменения интенсивности выпуска конечного продукта в системе без запаздывания и построить график. Как влияет на изменение интенсивности конечного продукта начальное состояние экономики у(0) и уровень непроизводственного потребления ?

Задача 10.2. Для модели без запаздывания задано: , . Определить, как следует изменить параметр , чтобы через промежуток времени  объем непроизводственного потребления удвоился.

Задача 10.3. Построить кривую зависимости параметров  и  при ; 1; 1,5, разделяющую области колебательного и апериодического процесса воспроизводства.

Задача 10.4. Показать, что при любых вещественных корнях характеристическое уравнения (10.5) обеспечивается расширенное воспроизводство конечного продукта.