Розрахунок однофазних та трифазних електричних кіл з несинусоїдними ЕРС

Приклад 1. Розкласти в ряд Фур'є криву напруги, зображену на рисунку 2.25.

Розв’язування. Для спрощення задачі розбиваємо період тільки на 12 частин (m=12) і визначаємо за графіком значення ординат в точках ділення та їх добутку на і на . Складаємо таблицю результатів розрахунку для знаходження сталої складової і коефіцієнтів ряду першої гармоніки k=1 (таблиця 2.1)

 

 

 

n	fn(wt)	n(2p/m)	sin(n(2p/m))	cos(n(2p/m))	f n(wt)× ×sin(n(2p/m))	fn(wt) × ×cos(n(2p/m))
				1,000
	50,0		0,500	0,866		43,3
	86,6		0,866	0,500		43,3
	100,0		1,000
	86,6		0,866	-0,500		-43,3
	50,0		0,500	-0,866		-43,3
				-1,000
			-0,500	-0,866
			-0,866	-0,500
			-1,000
			-0,866	0,500
			-0,500	0,866

Таблиця 2.1 – Результати розрахунків для першої гармоніки

Аналогічну таблицю складаємо для другої гармоніки k=2 (таблиця 2.2).

 

n	fn(wt)	2n(2p/m)	sin(2n(2p/m))	cos(2n(2p/m))	fn(wt) × sin(2n(2p/m))	fn(wt) × cos(2n(2p/m))
				1,0
	50,0		0,866	0,5	43,3	25,0
	86,6		0,866	-0,5	75,0	-43,3
	100,0			-1,0		-100,0
	86,6		-0,866	-0,5	-75,0	-43,3
	50,0		-0,866	0,5	-43,3	25,0
				1,0
			0,866	0,5
			0,866	-0,5
				-1,0
			-0,866	-0,5
			-0,866	0,5

Таблиця 2.2 – Результати розрахунків для другої гармоніки

 

Використовуючи дані з таблиці 2.1 та 2.2, визначаємо коефіцієнти:

C₁ = 0; B₂ = 0; C₂ = -22,8.

Якщо обмежитись постійною складовою і двома першими гармоніками, то шуканий ряд має вигляд:

 

u(t)=[31,1+50sinwt-22,8cos2wt] B,

або

u(t)=[31,1+50sinwt+22,8sin(2wt-90⁰)] B.

 

Для порівняння наведемо точне значення цих складових ряду Фур’є:

u(t)=[31,1+50sinwt+21,2sin(2wt-90⁰)] B.

Для розрахунку електричних кіл, ввімкнених на несинусоїдну напругу (not sinusoidal voltage), застосовується метод накладання (superposition method). Кожна гармонічна складова напруги створює свою складову струму. Загальний струм в колі визначається як сума миттєвих значень окремих гармонік струму. Розрахунок кожної гармонічної складової струму проводиться відомими методами у комплексній формі. При цьому необхідно враховувати, що із збільшенням номера гармонік індуктивний опір зростає, а ємнісний зменшується:

X_LK=kwL; X_CK=1/ kwC,

де k -номер гармоніки;

w- кутова частота (angular frequency) першої гармоніки.

Активна потужність, що споживається колом, при несинусоїдних струмах і напругах визначається як сума активних потужностей окремих гармонік:

P=U₀I₀ + U₁I₁cosj₁ + U₂I₂cosj₂ +...,

де U_k, I_k - діючі значення напруги і струму k -ї гармоніки;

j_k - кут зсуву фаз між напругою і струмом k -ї гармоніки.

Повна потужність усього кола:

S= UI,

де U, I - діючі значення несинусоїдних напруг і струмів.

Приклад 2. Визначити величину індуктивності L₁ (рисунок 2.26), при якій у колі можливий резонанс (resonance) на частоті п’ятої гармоніки (k=5); величину вхідного опору кола при резонансі. Параметри елементів кола: L₂=0,01Г; С=10 мкФ; r=50 Ом; f₁ =50 Гц.

Розв’язування. Визначимо вхідний опір схеми в комплексній формі:

де х_k1 = kwL;

x_k2 = kwL;

x_ck=1/(kwC);

w = 2pf₁.

Усунемо уявну складову знаменника другої складової, помножимо чисельник і знаменник на спряжений комплексний вираз:

 

Розділимо праву частину на дійсну і уявну складові:

.

Дійсна частина цього виразу являє собою вхідний активний опір кола, уявна – вхідний реактивний опір.

Щоб коло знаходилось в стані резонансу напруг, необхідно виконати умову:

або

Підставимо числові дані, отримаємо L₁=15,9 мГ. Повний вхідний опір всього кола при цьому дорівнює дійсній складовій:

 

Приклад 3. Розрахунок трифазного кола при дії несинусоїдальної трифазної ЕРС.

1. Знайти миттєве значення напруги U _bc.

2. Побудувати графік цієї напруги.

3. Знайти її діюче значення.

4. Знайти активну і повну потужність трифазної системи.

 

Рисунок 2.27

 

Перша гармоніка (пряма послідовність)

Реактивні опори:

.

Фазні струми з’єднання зіркою:

Фазні струми з’єднання трикутником:

 

Лінійні струми:

 

Напруга між точками b i c:

.

Активна потужність приймачів:

.

Третя гармоніка (нульова послідовність)

.

Реактивні опори для третьої гармоніки:

.

Враховуючи, що третя гармоніка створює нульову послідовність фаз, тобто лінійні напруги будуть відсутні: , так само , тоді фазні струми в з’єднанні трикутником також відсутні: .

Знайдемо фазні струми в з’єднанні зіркою:

П’ята гармоніка (зворотна послідовність)

Реактивні опори для п’ятої гармоніки:

Напруга між точками b і c:

Графік напруги U_bc(t)

Діюче значення напруги U_bc :

.

Активна потужність, що споживається трифазним колом:

.

Рисунок 2.28

 

Визначаємо повну потужність трифазної системи: