Перехідні процеси в лінійних електричних колах

Приклад 1. Класичним методом визначити струми перехідного процесу (transient process) у всіх вітках кола (рисунок 2.29) і напруги на індуктивності і ємності при розмиканні ключа К. Параметри кола: R₁=20_Ом, R₂=38 Ом, R₃=87 Ом, L=0,25 Г, С=100 мкФ, U=290 В.

Розв’язування. Вибираємо додатний напрямок струмів в вітках і складаємо рівняння за законами Кірхгофа для післякомутаційного стану кола:

(1)

 

 

З цієї системи рівнянь, вилучаємо всі невідомі, крім однієї, наприклад u_c, отримаємо лінійне диференціальне рівняння (linear differential equation) з одним невідомим. Для цього виразимо невідомі i₁, i₂, i₃ через u_c. Струм i₃ виражений через u_c в останньому рівнянні системи. Із 3-го рівняння системи:

. (2)

Підставимо значення струмів i₂, i₃ в перше рівняння системи (1), отримаємо:

 

. (3)

Замінивши струми їх значеннями через напругу в другому рівнянні системи, отримаємо:

або

.

Після перетворень:

. (4)

Таким чином, знаходження напруги u_C зводиться до розв’язування неоднорідного диференціального рівняння (non-homogeneous differential equation) другого порядку. Загальне розв’язування цього рівняння записується у вигляді двох складових (примусової і вільної): u_C=u_{C пр}+u_{C в} .

Примусову складову визначають з розрахунку нового сталого режиму, тобто при розімкнутому ключі. В цьому режимі в колі протікає постійний струм, який не проходить через ємність, тому

,

Напруга на ємності в усталеному режимі дорівнює напрузі на опорах R₂ i R₃, тобто

.

Вільну складову записують в залежності від виду коренів характеристичного рівняння (characteristic equation):

 

 

або

 

Корені рівняння

Оскільки корені характеристичного рівняння – спряжені комплексні, то вільна складова

де ;

Спільний вираз для напруги на ємності:

u_C = 250 + e^-80t (A₁sin200t + A₂cos200t). (5)

Для визначення сталих інтегрування використаємо початкові умови. Відповідно до законів комутації (commutation laws)

u_C(0₊) = u_C(0_-); i_L(0₊) = i_L(0_-).

Тому знаходимо напругу на ємності і струм в індуктивності до комутації, тобто при замкненому ключі:

Підставимо значення u_c(0₊) i t = 0 в рівняння (5), отримаємо

190=250+А₂ .

Звідси

А₂= -60.

Для знаходження А₁ використаємо другу початкову умову (starting condition) i_L(0₊), для чого виразимо струм i_L через постійні інтегрування А₁ та А₂. Підставимо рівняння (5) в формулу (3), отримаємо:

 

Після підстановки числових значень і деяких перетворень

i₁=2+e^-80t(0,02A₁cos200t+1,2sin200t).

Підставивши числові значення при маємо

5=2+0,02А₁

Звідки А₁=150.

Таким чином,

 

u_c=[250+e^-80t(150sin200t-60cos200t)] В.

Знаючи u_c, струми в вітках визначають за виразами (1) – (3):

 

i₁=[2+e^-80t(1,2sin200t+3cos200t)] A,

i₂=[2+e^-80t(1,2sin200t-0,48cos200t)] A,

i₃=3,48e^-80tcos200t A.

Відомо, що

a sinwt + b coswt=Asin(wt+g),

де ,

tgg=b/a;

тому

u_c=[250+162e^-80tsin(200t-21^° 50¢)] В;

i₁=[2+3,23e^-80tsin(200t+68° 10¢)] A;

i₂=[2+1,29e^-80tsin(200t+21° 50¢)] A;

i₃=3,48e^-80tsin(200t+90) A.

Напруга на індуктивності

.

Приклад 2. Розрахувати перехідний процес в схемі 5.1 операторним методом.

Розв’язування. Запишемо ще раз систему рівнянь, складену за законами Кірхгофа:

 

Враховуючи, що i₁(t)ºI₁(s), i₂(t)ºI₂(s), i₃(t)ºI₃(s); u_c(t)ºU_c(s)

Перепишемо цю систему в операторній формі:

 

Замість диференціальних рівнянь отримали алгебраїчні. Розв’язуємо отриману систему відносно однієї невідомої, наприклад U_c(s):

 

 

де i₁(0), u_c(0) – початкові умови.

Після підстановки числових значень

 

Для знаходження оригіналу функції (primitive function) U_c(s) використовується формула розкладання. Тоді

 

y(s)=4,75×10^-3s² + 1,63s + 290;

H(s)=s(2,3×10^-3s² + 4×10^-3s + 1,16).

Порівнюючи знаменник до нуля, знаходимо його корені:

S₁ = 0; S₂ = - 80 + j200; S₃ = - 80 – j200.

Оскільки ми отримали три корені, то сума в формулі розкладу містить три складових (n=3):

Знайдемо числові значення чисельників:

 

y(s₁)=4,75×10^-3s₁² + 1,63s₁ + 290 = 290,

y(s₂)=4,75×10^-3s₂² + 1,63s₂ + 290 = j174,

y(s₃)=4,75×10^-3s₃² + 1,63s₃ + 290 = - j174.

Похідна знаменника

 

H¢(s)=(2,5×10^-3s² + 4×10^-3s + 1,16) + s(5×10^-3s + 4×10^-3),

тому

H¢(s₁) = 1,16,

H¢(s₂) = - 2 – j0,8,

H¢(s₃) = - 2+ j0,8.

Підставляючи отримані значення у вираз для u_c(t), маємо:

 

 

або

Замінимо показникові функції від уявного аргументу тригонометричними, тоді

 

u_c(t)=250+81e^-80t[cos(200t-111°50¢)+jsin(200t-111°50¢)+cos(200t-111°50¢)-

-jsin(200t-111°50¢)]=250+162e^-80tcos(200t-111°50¢),

або

Інші шукані величини визначаються аналогічно.