Розрахунок лінійних електричних кіл однофазного струму

Приклад 1. Визначити струми у вітках схеми (рисунок 2.11) методом перетворень, якщо: L₁=0,2 Гн; L₂=0,1 Гн; R₁=10 Ом; R₂=10 Ом; C=100 мкФ; f=50 Гц; В.

Розв’язування. Знаходимо опір індуктивностей (inductance) та ємності (capacity):

;

;

.

 

Паралельні вітки замінюємо однією віткою з еквівалентним опором:

 

Після такої заміни коло складається з трьох послідовно з'єднаних опорів.

Повний комплексний опір (full complex resistance) всього кола:

.

За законом Ома:

; ;

.

Миттєве значення вхідного струму (instantaneous value of entrance current):

.

Для знаходження струмів та визначаємо напругу на паралельних вітках :

.

 

Звідки

; .

Миттєві значення струмів:

;

.

Баланс потужностей (balance of powers) в колах синусоїдного струму складається окремо для активних (active power) і реактивних потужностей (reactive power):

 

; ,

 

де - напруга джерела;

- струм джерела;

- кут зсуву фаз між ними;

-струми, що протікають через активні (R _S) чи реактивні (x _S) опори кола.

При складанні балансу реактивних потужностей потрібно враховувати, що індуктивні та ємнісні опори мають різні знаки.

Знаходимо активну потужність джерела:

 

.

Активна потужність споживачів:

.

Реактивна потужність джерела:

.

Реактивна потужність споживачів:

.

Таким чином,

; .

 

Побудуємо векторну діаграму (vectogram). Побудову діаграми починають з струму найскладнішої з паралельних віток. Якщо побудову діаграми проводити не на комплексній площині (complex plane), то напрямок струму I ₂можна вибрати довільно. Відкладемо в вибраному масштабі струмів струм I ₂ горизонтально (рисунок 2.12).

;

.

 

Вибравши додатний напрямок напруг на елементах кола, що збігаються з напрямками струмів, почнемо побудову векторів напруг з точки b. На ділянці bc напруга Ubc випереджає струм I ₂ на кут 90°, тому в вибраному масштабі напруг відкладаємо з точки b вектор Ubc. На ділянці cd напруга Ucd збігається зі струмом I ₂ за напрямком. З'єднавши на діаграмі точки b і d, одержуємо напругу Ubd, що водночас прикладена і до вітки, яка містить ємність С. Оскільки на ємності струм випереджає напругу на 90°, то струм I ₃ проводимо з початку вектора струму I ₂ під кутом 90° до вектора Ubd. Геометрична сума струмів I ₂ і I ₃ згідно з першим законом Кірхгофа дасть величину струму I ₁.

На ділянці df напруга Udf збігається за фазою зі струмом I ₁, тому з точки d проводимо вектор Udf паралельно вектору струму I ₁. На індуктивності L ₁ напруга Uab випереджає струм I ₁ на 90° і направлена від точки a в точку b. Вектор, що з'єднує точки а і f, є вектором прикладеної напруги.

 

Приклад 2. Визначити струми в вітках, скласти баланс потужностей для кола, зображеного на рисунку 2.13, з параметрами: R₁=2 Ом; R₂=4_Ом; x_L1=4 Ом; x_L2=4 Ом; x_c=6 Ом; x_м=3 Ом; U =200 В.

Розв’язування. При заданих однойменних затискачах і вибраних додатних напрямках струмів в вітках індуктивності L ₁та L ₂ включені узгоджено (included concertedly).

 

c

b

a

 

		d
	e

 

 

 

 

 

 

 

 

Складаємо рівняння за другим законом Кірхгофа для контуру А, записавши його спочатку через напруги на ділянках:

.

 

Визначення напруг і не викликає ускладнень, бо це напруги на активних опорах, тому

; .

 

Напруги на ділянках bc і cd складаються з двох складових - напруг самоіндукції (self-induction) та взаємоіндукції (interinduction). При узгодженому включенні індуктивностей

 

;

.

Таким чином,

Для контуру В ,

або .

Використовуючи третє рівняння, складене за першим законом Кірхгофа, і підставляючи числові дані, отримуємо систему рівнянь:

 

;

;

.

Розв’язуємо її:

А; А; А.

Баланс активних потужностей складається так само, як і для кіл синусоїдного струму без взаємної індуктивності:

 

; ;

.

При складанні балансу реактивних потужностей необхідно враховувати, що наявність магнітного зв'язку (magnetic connection) змінює реактивну потужність кола. В індуктивних котушках додатково споживається реактивна потужність, що визначається за формулою

 

,

де a _1, a ₂ - початкові фази відповідно струмів I ₁ та I ₂.

Знак "плюс" в формулі береться при узгодженому включенні котушок, "мінус" - при зустрічному, тому

 

;

.

Метод контурних струмів

При складанні рівнянь за даним методом контури краще вибирати так, щоб до кожного контуру входила лише одна індуктивно зв'язана котушка (inductively connected coil) (рисунок 2.14). Запишемо рівняння:

;

.

Останні доданки в рівняннях враховують відповідно вплив другої котушки на першу і першої котушки на другу. Знак "мінус" поставлений у цих доданках тому, що для обраних напрямків контурних струмів котушки включені зустрічно.

Підставляючи числові значення, отримаємо:

;

.

Розв'яжемо систему:

А; А.

Струми в вітках визначаються з співвідношень:

 

А; А; А.