Розрахунок електричного поля двох паралельних циліндрів

Два провідники, перерізом яких є коло, мають паралельні осі.

Задані: радіуси провідників R1 та R2, відстань між осями D, довжина провідників та відносна діелектрична проникність середовища між ними ε (або питома провідність середовища γ). В окремому випадку, коли R2 = ∞, другий провідник перетворюється в площину, при цьому задана відстань від осі першого провідника до площини a.

Необхідно:

1) розрахувати і побудувати картину електричного поля, що має m–ліній напруженості та n–1 ліній рівних потенціалів (ці лінії розташувати через однакову різницю потенціалів U/n, де U – напруга між провідниками);

2) визначити величини зарядів на провідниках (або струм витоку між провідниками);

3) визначити ємність С між провідниками (або опір середовища між ними);

4) знайти найбільшу напруженість поля Еmax та величину найбільшого електричного зміщення Dmax (або щільність струму δmax).

Примітки:

1) якщо D>(R1+R2), то провідники розташовані паралельно один одному (рис.1);

2) якщо D<(R1+R2), то провідники розташовані один в одному (рис.2);

3) якщо R2 = ∞, то цей провідник перетворюється в площину (рис.3).

 

Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3

 

Таблиця 1 Таблиця 2

Номер	m	n		Номер	U, В	l, м	ε, -	γ, Ом^-1/м
								-
							-	10^-7
							2,5	-
							-	10^-5
								-
							-	10^-5
								-
								-
								-
								-

Таблиця 3

Номер	Рисунок	R1, см	R2, см	D, см	a, см
		1,5	3,0	6,5	-
		0,5	3,0	5,0	-
		4,0	10,0	3,0	-
		3,0	2,5		-
		2,0	-	-	4,5
		1,0	5,0	7,5	-
		4,0	10,5	5,0	-
		2,0	3,5	8,0	-
		3,0	-	-	5,0
		5,0	10,0	2,0	-

 

 

Приклади розрахунку електричних кіл

 

Методи розрахунку лінійних електричних кіл

Приклад 1. Перетворити схему (рисунок 2.1) до одноконтурної, якщо E=100_B, R₁=24_Ом, R₂=4_Ом, R₃=12 Ом, R₄=12 Ом, R₅=6 Ом, R₆=18 Ом.

Розв’язування. Задане електричне коло (electric circuit) не містить послідовно або паралельно з'єднаних опорів, тому для розв’язування задачі необхідно використати перетворення трикутника в еквівалентну зірку або зворотне перетворення. Розглянемо обидва ці варіанти.

Варіант 1. Перетворимо трикутник опорів (triangle of resistances) R₄, R₅, R₆ в зірку з опорами R_a, R_b, R_c (рисунок 2.2), величини яких знаходимо за наведеними співвідношеннями:

; ; .

На рисунку 2.2 опори R₁ і R_a, R₂ і R_b з’єднані послідовно (serially), а вітки oad і obd – паралельно (parallel), тому еквівалентний опір (equivalent resistance) між точками od:

.

Загальний опір всього кола .

Варіант 2. Перетворимо зірку опорів R₂, R₄, R₅ в еквівалентний трикутник (рисунок 2.3). Опори трикутника визначимо за формулами:

;

;

.

 

Опори R_ac і R₆, R_ad і R₁ з’єднані паралельно. Між собою ці пари опорів з’єднані послідовно (рисунок 2.4), тому

 

 

Загальний опір всього кола:

Rекв1

Метод рівнянь Кірхгофа

Перший закон Кірхгофа: алгебраїчна сума струмів у вітках (leg), що сходяться до одного вузла (node) кола, дорівнює нулю. Алгебраїчна сума береться тому, що струми в вітках одного вузла можуть бути по-різному орієнтовані відносно цього вузла.

Другий закон Кірхгофа: алгебраїчна сума ЕРС (electromotive force (emf)) будь-якого замкненого контуру (closed circuit) електричного кола дорівнює алгебраїчній сумі спаду напруг (voltage) на елементах цього контуру. Для складання рівнянь за другим законом Кірхгофа необхідно довільно задати напрямок обходу контуру. ЕРС, що входять в рівняння, приймаються додатними, якщо вони збігаються з напрямком обходу контуру. Спади напруг на ділянках кола входять в рівняння зі знаком плюс, якщо напрямок струму (current), що протікає по цій ділянці, збігається з напрямом обходу контуру.

Для розрахунку кіл за допомогою рівнянь Кірхгофа необхідно спочатку довільно вибрати напрямки струмів у вітках. При складанні рівнянь за першим законом Кірхгофа струми, які підходять до вузла, беруться зі знаком мінус, направлені від вузла – зі знаком плюс (або навпаки). Число незалежних рівнянь, складених за першим законом, повинно бути на одиницю менше числа вузлів n в схемі.

Так, для розрахунку схеми, що містить m віток, треба мати систему m рівнянь, тоді за другим законом Кірхгофа складемо m – (n-1) рівнянь. Отримані таким чином рівняння утворять систему, розв’язування якої дозволяє знайти величину всіх струмів. Якщо при розв’язанні системи будуть від’ємні значення, це означає, що дійсні напрямки струмів не збігаються з довільно вибраними на початку розрахунку.

Приклад 2. Скласти рівняння за законами Кірхгофа для схеми (рисунок 2.1), якщо Е₁=40 В, Е₂=20 В, R₁=20 0м, R₂=20 0м, R₃=40 0м, R₄=20 0м, R₅=5 0м, R₆=50м.

Розв’язування. Вибираємо довільно напрямки струмів у вітках, як показано на рисунку 2.5. В схемі три вузли (n=3), тому за першим законом Кірхгофа складаємо (n-1) =2 рівняння.

Для вузла a: ; для вузла b: .

За другим законом Кірхгофа необхідно скласти m – (n-1) рівнянь, тобто для даної схеми 5 – (3-1) =3 рівняння. При вибраних напрямках обходу контурів

;

;

.

Підставляючи числові значення, одержуємо систему рівнянь:

;

;

;

;

.

 

Метод контурних струмів

При розрахунку електричних кіл методом контурних струмів спочатку визначають контурні струми, тобто струми, кожний з яких протікає по власному контуру, залишаючись вздовж нього незмінним (рисунок 2.6). Напрямки контурних струмів вибираються довільно. Струми у вітках визначаються як алгебраїчна сума контурних струмів, що протікають по цих вітках. Так, по вітці, що містить ЕРС Е₁ і опір R₁, протікає тільки один контурний струм J₄, тому струм вітки I₁ за величиною дорівнює контурному струму J₄. Струми I₁ і J₄ збігаються за напрямком, тоді I₁ = J₄ . У вітці, що містить I₃ і R₃, протікають два контурних струми J₁ і J₂. Оскільки обидва контурних струми в цій вітці збігаються за напрямком зі струмом вітки I₃, тоді I₃ = J₁+J₂. Аналогічно визначаються струми в інших вітках:

I₂ = J₂; I₄ = - J₁; I₃ = - J₃ + J₄; I₆ = J₂ - J₃; I₇ = - J₃.

 

 

Рівняння для визначення контурних струмів складаються за другим законом Кірхгофа. Контури вибирають таким чином, щоб рівняння, які одержують, були незалежні одне від одного. Для цього необхідно, щоб в кожний новий контур, для якого складається рівняння, входила хоча б одна нова вітка, яка не входила ні в один з раніше розглянутих контурів. При записі рівнянь напрямок обходу контуру звичайно вибирають таким, щоб збігався з напрямком контурного струму; при цьому треба враховувати, що у вітках, які належать двом або більше контурам, протікає відповідна кількість контурних струмів і, отже, спад напруги на таких ділянках складається з алгебраїчної суми спадів напруг від кожного контурного струму.

Наприклад, для контуру, в якому протікає струм J ₂, рівняння, складене за другим законом Кірхгофа, має вигляд:

 

.

Якщо ввести деякі нові позначення і поняття, то запис контурних рівнянь можна формалізувати. В загальному випадку, коли електричне коло містить q контурів, можна записати систему рівнянь:

;

;

.................

.

 

Опір з однаковими індексами називають власним опором -го контуру, оскільки він дорівнює сумі всіх опорів, які належать цьому контуру. Опір з різнойменними індексами називається спільним опором контурів і k. Він водночас належить контурам і k. Цей опір може мати різні знаки в залежності від напрямку контурних струмів і . Якщо ці струми в вітках з опором збігаються за напрямком, то входить в рівняння зі знаком плюс, в протилежному випадку опір від’ємний.

ЕРС називають контурною ЕРС. Вона дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС, які належать контуру, що розглядається.

Приклад 3. Визначити струми у вітках схеми (рисунок 2.7) методом контурних струмів, якщо E₁=40 В, E₂=40 В, E₃=140 В, R₁=20 Ом, R₂=20_Ом, R₃=10 Ом, R₄=20 Ом, R₅=40 Ом, R₆=20 Ом.

 

 

 

Розв’язування. В зв’язку з тим, що електричне коло містить три незалежні контури (independent contour), то систему контурних рівнянь записуємо у вигляді:

 

;

;

.

 

Визначимо коефіцієнти отриманої системи рівнянь. Власні опори контурів (own resistance of a contour):

Ом;

Ом;

Ом.

Спільні опори (common resistances):

 

Ом;

Ом.

Враховуючи, що контури 1 і 3 не мають спільної вітки, R₁₃= R₃₁=0. Опір R₂₃ входить в рівняння зі знаком мінус тому, що струми J₂ і J₃ в цьому опорі направлені в різні сторони.

Контурні ЕРС:

E₁₁= E₃ – E₂=100 В; E₂₂= - E₁ – E₂=-80 В; E₃₃=0.

Підставляючи числові значення в систему рівнянь, маємо:

;

;

.

Розв’язавши її, отримуємо: J₁ = 4 А; J₂ = -3 А; J₃ = -2 А.

Струми у вітках визначаються із співвідношень:

I₁ = - J₂ = 3 А; I₂ = J₁ + J₂ = 1 А; I₃ = J₁ = 4 А; I₄ = J₃ = -2 А; I₅ = J₃ – J₂ = 1 А.

Метод вузлових потенціалів

Зміст методу полягає в тому, що спочатку визначаються потенціали вузлів (node potential) схеми, а після цього за відомими потенціалами, використовуючи закон Ома для ділянок кола, визначаються струми в вітках. Потенціал одного з вузлів (опорного) можна прийняти рівним нулю, тоді число невідомих в системі вузлових рівнянь буде на одиницю менше числа вузлів.

В загальному випадку система вузлових рівнянь для схеми, що містить n+1 вузлів, записується у вигляді:

 

;

;

................

,

 

де j _n - потенціал n -го вузла; потенціал n+1 -го опорного вузла прийняти рівним нулю;

g _nn – власна провідність n -го вузла, що визначається як сума провідностей віток, що сходяться в цьому вузлі;

g _ik – спільна провідність вузлів i та k, дорівнює сумі провідностей віток, що з'єднують безпосередньо вузли i та k. В лінійному колі g _ik= g _ki;

J _nn=S E _k g _k – вузловий струм n -го вузла. Ця величина дорівнює алгебраїчній сумі добутків E _k g _k, де E _k та g _k – відповідно ЕРС і провідність віток, що підходять до n -го вузла. Додатне значення цього добутку береться в тому випадку, коли ЕРС E _k направлена до даного вузла.

Приклад 4. Визначити струми у вітках схеми (рисунок 2.8) методом вузлових потенціалів, якщо E₁ = 60 В; E₂ = 20 В; E₃ = 120 В; R₁ = R₂ = R₄ = = 20 Ом; R₃ = R₆ = 10 Ом; R₅ = 10 Ом.

Розв’язування. Приймемо потенціал вузла 3 рівним нулю (j₃=0). Запишемо систему двох вузлових рівнянь у загальному вигляді:

 

;

.

Знайдемо коефіцієнти системи. Власна провідність вузла (own conductance of node) 1 складається з чотирьох доданків, бо до нього примикають чотири вітки:

 

См.

Аналогічно

 

См.

 

Спільна провідність (common conductance) вузлів 1 та 2 складається з суми двох доданків, бо ці вузли з'єднані двома вітками:

 

См.

(Якщо два вузли не з'єднані між собою жодною віткою, то їхня спільна провідність дорівнює нулю).

Вузловий струм (node current) першого вузла складається з суми двох доданків, тому що з чотирьох віток, які примикають до нього, лише дві містять ЕРС. Обидві ці ЕРС направлені від вузла 1, тому обидва доданки від’ємні, тобто:

 

А.

Вузловий струм другого вузла:

А.

Підставляючи числові дані в систему, одержуємо:

;

.

Розв'язування системи дасть значення потенціалів:

j₁ = - 40 В;

j₂ = 20 В.

Задавши напрямок струмів у вітках, за законом Ома для ділянок кола, визначаємо їхні значення:

А;

А; А;

А; А.