Теорема Максвелла (теорема о взаимности единичных перемещений)

Теорема Максвелла - это теорема о взаимности работ для частного случая нагружения системы, когда F₁=F₂=1. Очевидно, что при этом δ₁₂=δ₂₁.

Перемещение точки первого состояния под действием единичной силы второго состояния равняется перемещению точки второго состояния под действием единичной силы первого состояния.

 

 

38. Формула для определения работы внутренних сил (с пояснением всех входя­щих в формулу величин).

Теперь определим возможную работу внутренних сил. Для этого рассмотрим два состояния системы:

1) действует сила P_i и вызывает внутренние усилия M_i, Q_i, N_i;

2) действует сила P_j, которая в пределах малого элемента dx вызывает возможные деформации

D_Mj= dx, D_Qj=m dx, D_Nj= dx.

Внутренние усилия первого состояния на деформациях (возможных перемещениях) второго состояния совершат возможную работу

–dW_ij=M_iD_Mj+Q_iD_Qj+N_iD_Nj= dx+m dx+ dx.

Если проинтегрировать это выражение по длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим формулу возможной работы внутренних сил:

–W_ij= dx.

EI – жесткость при изгибе

GA – Жесткость при сдвиге

Е – модуль упругости характер физ параметры

Е – модуль упругости характер геометрич параметры

G- модуль сдвига

A- площадь сечения

EA –продольная жесткость

 

39. Формула Мора для определения перемещений (с пояснением всех входящих в формулу величин).

Рассмотрим два состояния стержневой системы:

1) грузовое состояние (рис. 6.6 а), в котором действующая нагрузка вызывает внутренние усилия M_P, Q_P, N_P;

2) единичное состояние (рис. 6.6 б), в котором действующая единичная сила P=1 вызывает внутренние усилия .

Рис. 6.6

Внутренние силы грузового состояния на деформациях единичного состояния , , совершают возможную работу

–V_ij= dx.

А единичная сила P=1 единичного состояния на перемещении грузового состояния D_P совершает возможную работу

W_ij=1×D_P=D_P.

По известному из теоретической механики принципу возможных перемещений в упругих системах эти работы должны быть равными, т.е. W_ij= –V_ij. Значит, должны быть равны и правые части этих выражений:

D_P= dx.

Эта формула называется формулой Мора и используется для определения перемещений стержневой системы от внешней нагрузки.

 

40. Порядок определения перемещений в С.О.С. с использованием формулы Мора.

Определить выражения для внутренних усилий N_p, Q_p, M_p как функции координаты х произвольного сечения для всех участков стержневой системы от действия заданной нагрузки.

Приложить по направлению искомого перемещения соответствующую ему единичную нагрузку (единичную силу, если определяется линейное перемещение; сосредоточенный единичный момент, если определяется угловое перемещение).

Определить выражения для внутренних усилий как функции координаты х произвольного сечения для всех участков стержневой системы от действия единичной нагрузки.

Найденные выражения внутренних усилий в первом и втором состоянии подставляют в интеграл Мора и интегрируют по участкам в пределах всей стержневой системы.

41. Применение формулы Мора для определения перемещений в изгибаемых сис­темах (со всеми пояснениями).

В балках (рис. 6.7 а) возможны три случая:

− если > 8, в формуле оставляется только член с моментами:

D_P= ;

− если 5≤ ≤8, учитываются и поперечные силы:

D_P= dx;

2. В рамах (рис. 6.7 б) элементы в основном работают только на изгиб.Поэтому в формуле Мора учитываются только моменты.

В высоких рамах учитывается и продольная сила:

D_P= dx.

3. В арках (рис. 6.7 в) необходимо учитывать соотношение между основными размерами арки l и f:

1) если £ 5 (крутая арка), учитываются только моменты;

2) если >5 (пологая арка), учитываются моменты и продольные силы.

4. В фермах (рис. 6.7 г) возникают только продольные силы. Поэтому

D_P = dx = = .

42. Правило Верещагина для вычисления интегралов Мора: суть и условия ис­пользования.

Правило Верещагина для вычисления интегралов Мора: суть и условия ис­пользования.

 

c- центр тяжести площади грузовой эпюры.

y_c-ордината взята из единичной эпюры, расположенной под центром тяжести площади грузовой эпюры.

EI- жесткость при изгибе.

 

Для вычисления полного перемещения необходимо сложить произведения грузовой эпюры на ординату поединично всех простых участков системы.

В данной формуле приведены определенные перемещения от действий только изгибающего момента. Это справедливо для изгибающих систем, для которых основное влияние на перемещение точек оказывает величина изгибающего момента, а влияние поперечной и продольных сил незначительно,которыми на практике пренебрегают.