Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

Примем неподвижную точку О тела за начало системы координат Oxyz, оси которой неподвижны относитель­но тела. Пусть p_v — радиус-вектор точки P_v тела относительно нача­ла координат, его проекции на оси Ox, Оу, Oz обозначим x_v, y_v, z_v. Проекции мгновенной угловой скорости w тела на те же оси обозна­чим р, q, r.

Вычислим кинетический момент тела относительно точки О. Учи­тывая, что скорость u_v точки P_v равна w х p_v, имеем

Используя формулу а х (Ь х с) = Ь(а • с) — с(а • Ь) для двойного векторного произведения трех векторов а, b, с, выражение для Ко можно переписать в виде

Отсюда получаем следующее выражение для проекции Ко_х вектора Ко на ось Ох:

Аналогично можно выписать выражения для проекций Ко_у и Ko_z- Учтя формулы (2), (3) п. 77 для осевых и центробежных моментов инер­ции, окончательно получим

Эти формулы можно записать более компактно, использовав матрицу J, определяющую тензор инерции тела для точки О:

В частном случае, когда оси Ox, Оу, Oz представляют собой глав­ные оси инерции тела для точки О, матрица J диагональна; ее диа­гональными элементами служат главные моменты инерции тела для точки О, т. е. J_x = A, J_y = В, J_z = С. В этом случае

К_0х = Ар, K_0y = Bq, K_0z = Cr. (10)

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, например вокруг оси Oz, то р = q = 0 и, согласно (8),

Из последней формулы видно, что при вращении тела вокруг неподвижной оси направ­ления оси вращения и кинетического момента тела, вообще говоря, раз­личны. Они совпадают тогда и только тогда, когда ось вращения явля­ется главной осью инерции тела.

 

Дифференциальные уравнения сферического движения твердого тела.

Дифференциальные уравнения свободного движения твердого тела нетрудно получить, если рассмотреть движение тела как сложное, принимая за переносное движение поступательное с центром масс, а за относительное – сферическое движение вокруг центра масс. То есть к динамическим уравнениям Эйлера необходимо добавить дифференциальные уравнения движения центра масс

, ,

, ,

, .

Понятие о гироскопе. Кинетический момент быстровращающегося гироскопа.

Теорема Резаля. Основные свойства гироскопа с тремя степенями свободы.

Гироскопический момент. Определение гироскопических реакций. Техническое применение гироскопов.

Динамика тела переменной массы. Основные понятия. Уравнение Мещерского

Одним из достоинств теоремы об изменении количества движения механической системы, как говорилось раньше, является возможность прогнозировать с ее помощью движение тел не только постоянной, но и переменной массы. Такие тела существуют в природе. Это – тающие льдины и айсберги, набирающие по пути на Землю иногда приличную массу градины. За счёт падения на Землю метеоритов на несколько тонн в год изменяется масса Земли. В соответствии с законом сохранения кинетического момента изменяется угловая скорость ее вращения.

Значительно больше примеров тел переменной массы можно найти в том, что создано инженерной мыслью. Очень существенно изменяют свою массув полете ракеты и реактивные снаряды. Масса сгорающего в полете топлива составляет существенную часть массы самолета. Довольно быстро изменяют свою массу попавшие на печатный станок рулоны бумаги, бобины с нитью в ткацком станке или бобины магнитофонной ленты при ее перемотке.

 

Неудивительно, что в 20-м веке стал быстро развиваться новый раздел механики – динамика тел переменной массы. Основоположником этого направления считается профессор Петербургского политехнического института и автор самого популярного в России задачника по теоретической механике Иван Всеволодович Мещерский. Его задачник с некоторыми изменениями и дополнениями переиздается более 80 лет. С помощью этого задачника пытаются научиться решать задачи механики студенты технических вузов и университетов и в настоящее время.

Получим и мы вслед за И.В. Мещерским дифференциальное уравнение движения тела переменной массы. Рассмотрим самый простой случай, когда тело движется поступательно и его можно рассматривать, как материальную точку переменной массы. Будем считать:

1. Функция М = М(t), описывающая изменение массы тела, является однозначной, непрерывной и дифференцируемой.

2. Отделяющиеся непрерывно массы dm много меньше основной массы тела – М, движение которой исследуется.

Рассмотрим само тело и все частицы, которые отделились от тела за некоторый промежуток времени, как одну систему материальных точек. Это позволяет считать силы взаимодействия между основной и отделяемыми массами внутренними и применить теоремы, полученные для систем материальных точек постоянной массы.

Для системы, состоящей из тела массой М и отделяющейся за время dt массы dm, применим теорему об изменении количества ее движения.