Б1. 35. Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность (последовательность Коши, сходящаяся в себе последовательность) – последовательность{ x_n }, удовлетворяющая следующему условию Коши:

Для любого ε > 0 существует такое n, что для всех n > N, m > N выполняется неравенство |x_n – x_m| < ε.

Здесь x_n – действительное или комплексное число или точка метрического пространства, | x_n – x_m | – расстояние между числами x_n и x_m или между точками x_n и x_m этого пространства.

Любая сходящаяся последовательность фундаментальна. Пространство, в котором верно и числа обратное утверждение, называется полным. Множество действительных чисел и множество комплексных чисел – примеры полных пространств, а, скажем, множество рациональных чисел – нет: последовательность рациональных значений , взятых с недостатком (т.е. последовательность 1; 1,4; 1,41; …), сходится, но её предел не является рациональным числом.

Задание. Доказать сходимость последовательности , используя критерий Коши.

Доказательство. Покажем вначале, что заданная последовательность является фундаментальной, то есть для любого , : : :

Таким образом, для любого существует номер , а значит рассматриваемая последовательность является фундаментальной, а тогда по критерию Коши она является сходящейся.

Б1. 36. Полное метрическое пространство

Полное метрическое пространство – метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

В большинство случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своем пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение.

Всякое метрическое пространство можно вложить в полное метрическое пространство таким образом, что метрика – продолжает метрику Х, а подпространство Х всюду плотно в . Такое пространство – называется пополнением Х и обычно обозначается .

Построение.

Для метрического пространства , на множестве фундаментальных последовательностей в Х можно ввести отношения эквивалентности

Можно классов эквивалентности – с метрикой, определенной

,

является метрическим пространством. Само пространство изометрически вкладывается в него следующим образом: точке соответствует класс постоянной последовательности . Получившееся пространство и будет пополнением .

Свойства:

· Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.

· Полнота наследует замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.

· Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено, то есть для любого пространство можно покрыть конечным числом шаром радиуса

· Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства

Примеры:

· Множество вещественных чисел полно в стандартной метрике

· Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно

· Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.

· Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространсво.

Б1. 37.Компактное множество

Определение. Пусть множество . Семейство открытых множеств называется открытым покрытием множества Е, если каждая точка принадлежит хотя бы одному из множеств , т.е. если .

Определение. Множеств называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество Е. Это подсемейство называется конечным подпрокрытием.

Например, множество, состоящее из одной точки, двух точек или любого конечного набора точек, очевидно, компактное. Пусть . Диаметром множества Е называется число

diam , т.е. верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек из Е. Например, если - - мерный сегмент, то, diam ,где .

Лемма (о вложенности сегментах). Пусть - последовательность вложенных сегментов из , т.е. , диаметры которых стремится к нулю при . Тогда существует, и притом единственная, точка , принадлежащая всем этим сегментам.

Доказательство. Пусть .При каждом фиксированном последовательность одномерных отрезков состоит из вложенных друг в друга отрезков, т.е. б и длины этих отрезков стремятся к нулю при . По лемме Кантора, для зафиксированного i найдется число такое, что , т.е. .Но тогда точка , очевидно, принадлежит всем . Двух различных точек, принадлежащих всем одновременно, быть не может. Действительно, если , то . По условию правая часть стремится к нулю при , так что