Б1. 25. Интеграл римана и Лебега

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная f.

Рассмотрим разбиение отрезка a=x₀<x₁<x₂<... <x_т-1<x_т=b — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков [x_i-1,x_i], i=1... n. Длина наибольшего из отрезков δR=max(Δ x_i)называется шагом разбиения, где Δx_i = x_i-x_i-1— длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке ξ_i∋[x_i-1,x_i]. Интегральной суммой называется выражение .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора ξ_i∋[x_i-1,x_i], то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], то есть .

В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b].

Понятие интеграла Римана не пременимо для измеримых функций, которые могут быть разрывны во всей области определения или заданы на таком абстрактном множестве, что понятие интегральных сумм не имеет смысла. В отличие от интеграла Римана, основная идея интеграла Лебега состоит в том, что точки группируются по признаку близости значений функции в этих точках.

26,27,28,29,30

 

 

Б1. 31. Замыкание множества. Предельная точка

Замыкание множества

Определение 8.1. Точка х называется точкой прикосновения множества А (Х, τ), если любая ее окрестность имеет непустое пересечение с А.

Совокупность всех точек прикосновения множества А называется замыканием множества А и обозначается А с чертой.

Операция перехода от множества А к множеству называется операцией замыкания. Любая точка множества А является его точкой прикосновения, но есть точки прикосновения, которые не принадлежат множеству А.

Так, например, замыканием интервала (a, b) является отрезок [ a, b ], замыканием открытого шара в R ⁿ - замкнутый шар (вместе с ограничивающей его сферой). Замыкание множества Q рациональных чисел на прямой совпадает со всей числовой прямой:.

Из определения замыкания следует также, что замыкание пустого множества пусто, а замыкание всего пространства Х совпадает с Х. Операция замыкания обладает также свойствами:

1. M ,  М,

2. Если M N, то (монотонность замыкания),

3. (идемпотентность).

Предельная точка множества. Предел функции в точке

Пусть . Число называется предельной точкой множества X, если

Из определения следует, что любая окрестность точки x ₀ содержит точку из множества X, отличную от x ₀. Сама точка x ₀ может принадлежать, а может и не принадлежать множеству X.

Значение +∞ есть предельная точка множества X, если

Значение -∞ предельная точка множества X, если

Число называется предельной точкой множества , если из этого множества можно выделить последовательность (x_n) различных точек, сходящуюся к x ₀. (Данное определение и определение, указанное в самом начале эквивалентны)