Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Компактность метрического пространства ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
К метрическому пространству, естественно, можно применить топологическое определение компактности. Однако в случае метрических пространств удобно пользоваться другими опре- делениями (= критериями) компактности. Постепенно мы установим равносильность для мет- рических пространств всех приводимых нами определений (критериев) компактности. Определение 2. Метрическое пространство X называется компактным, если любое его бесконечное подмножество имеет предельную точку. Замечание. Метрическое пространство, состоящее из конечного числа точек, следует считать компактным: в нём нет бесконечных подмножеств, а стало быть, для всякого его бесконечного подмножества условие существования предельной точки выполнено. (Для несуществующего объекта верно всё что угодно.) Определение 2а. Метрическое пространство X называется компактным, если любая по- следовательность его точек имеет предельную точку (= содержит сходящуюся подпоследова- тельность). Предостережение. Обращаем внимание читателя на различия понятий предельной точки последовательности и множества. Так, предельная точка последовательности может не быть предельной точкой множества её значений. (Почему? Приведите примеры.) Докажем равносильность этих определений. Определение 2⇒ Определение 2а. Рассмотрим произвольную последовательность {xn} ⊂ X. Покажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Если из неё можно извлечь стационарную подпоследовательность, утверждение тривиально. В противном случае можно утверждать, что множество значений последовательности бесконечно. По условию оно имеет предельную точку x ∈ X. Таким образом, в любой окрестности точки x найдётся элемент последовательности, отличный от x. Уменьшая размеры окрестностей, мы получим, что в любой окрестности таких элементов даже бесконечно много. Тем самым, x — предельная точка последовательности {xn}. Определение 2а ⇒ Определение 2. Пусть Y ⊂ X — бесконечное множество. Построим последовательность {xn} его элементов так, чтобы среди её членов не было равных. По условию она имеет предельную точку x. Легко видеть, что x является также предельной точкой множества X. В самом деле, по определению предельной точки последовательности в каждой окрестности точки x найдётся бесконечно много членов последовательности. Но в силу нашего выбора они суть различные точки множества X. Они не могут все совпадать с x. Тем самым, в любой окрестности точки x имеется хотя бы одна точка xn ∈ X, отличная от x.
Утверждение доказано. Пример. Пользуясь определением 2а, нетрудно заметить, что бесконечномерное гильберто- во пространство l 2 не является локально компактным. Достаточно доказать некомпактность единичной сферы с центром в нуле. Имеем для элементов стандартного базиса ||ek − el|| = √ 2, а следовательно, из {en} нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Б1. 39.Теорема Арцела Теорема (Арцела). Пусть функции заданы fn: K1 → K2 и 1) K1, K2 — компактные метрические пространства; 2) последовательность функций {fn} является равностепенно непрерывной: ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x’ ∈ K1, ∀n ∈ N (ρ1(x, x’)) δ ⇒ ρ2(fn(x), fn(x’)) ε. Тогда из последовательности {fn} можно извлечь подпоследовательность, равномерно сходящуюся к некоторой функции f ∈ C(K1, K2).
Доказательство. 1. Построим (это возможно в силу компактности K1) конечные 1-, 1/ 2 -, 1 /4 и т. д. сети. Упорядочив совокупность точек этих сетей в порядке перечисления и выбрасывая из последовательности повторяющиеся точки, получим счётное всюду плотное в K1 множество X = {x1, x2, x3,..., xl,...}. Для каждого фиксированного l рассмотрим последовательности {fn(xl)}. В силу компактности множества значений K2 с помощью «диагональной процедуры» можно выделить такую подпоследовательность {fnk }, которая будет сходиться в каждой точке xl ∈ X: .(1) Для сокращения записи будем далее обозначать полученную подпоследовательность функций {fnk } одним индексом: fk ≡ fnk, не смешивая её с исходной последовательностью. 2. Докажем, что полученная функциональная подпоследовательность сходится поточечно при всех x ∈ K1, а не только при xl ∈ X, и, более того, сходимость равномерна на K1. Пусть задано ε > 0. Пользуясь неравенством треугольника, запишем для произвольного x ∈ K1: . (2) где xl будет определено ниже. Пользуясь равностепенной непрерывностью исходной функциональной последовательности (а значит, и выбранной подпоследовательности), найдём такое δ > 0, что для всех k ∈ N и ρ1(x’, x”) < δ будет выполнено ρ2(f(x’), f(x”)) < ε /3. Найдём первое среди чисел 2 −j, j ∈ N, меньшее δ. Рассмотрим конечное множество Xj ⊂ X, состоящее из всех элементов выбранных ранее 1-, 1/ 2 -,..., 1/ 2 j - сетей в K1. (Легко видеть, что тогда для каждого x ∈ X ближайший к нему элемент xl ∈ Xj находится на расстоянии меньше δ.) В силу сходимости последовательности {fk} во всех точках Xj (поскольку она по построению сходится всюду на X) существует такое N ∈ N (зависящее только от ε, но не от x!), что для любых k, m > N и для любого xl ∈ Xj верно неравенство
ρ2(fk(xl), fm(xl)) < ε/ 3.(3) Поскольку ближайший к произвольному фиксированному элементу x ∈ K1 элемент xl ∈ Xj находится на расстоянии ближе δ, то с учётом выбора δ и два остальных слагаемых в (2) меньше ε /3, откуда мы получаем ρ2(fk(x), fm(x)) < ε. (4) при всех x ∈ K1 и всех k, m > N(ε). Тем самым установлена «равномерная фундаментальность» последовательности {fk} на K1. Из этого факта следует сходимость в каждой точке, а также равномерность этой сходимости: для доказательства последней достаточно перейти в (4) к пределу при m → ∞ (уже зная, что он существует поточечно). Итак, мы доказали, что из данной последовательности можно извлечь равномерно сходящуюся последовательность, предел которой — как равномерный предел непрерывных функций — сам представляет собой непрерывную функцию. Теорема доказана.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-22; просмотров: 232; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.140.185.147 (0.005 с.) |