Б1. 16 Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

Определение 1. Функциональная последовательность (31.1) называется равномерно сходящейся к функции f на множестве X, если для любого > 0 существует такой номер n ₀, что для всех точек x X и всех номеров n > n ₀ выполняется неравенство

| fn (x) - f (x)| < .

(31.7)

Очевидно, что если последовательность (31.1) равномерно сходится на множестве X к функции f, то эта последовательность сходится к функции f на рассматриваемом множестве (определение сходимости последовательности функций на множестве). Если последовательность { f_n } сходится на множестве X к функции f, то пишут f_n f,

а если эта последовательность сходится равномерно к f на указанном множестве, то пишут f_n f.

В символической записи определения сходящейся и равномерно сходящейся на множестве последовательности выглядят соответственно следующим образом:

f_n f > 0 x X n ₀ n > n ₀: | f_n (x) - f (x)| < .

f_n f > 0 n ₀ x X n > n ₀: | f_n (x) - f (x)| < .

Рис. 124

Таким образом, если последовательность { f_n } только сходится к функции f на множестве X, то для каждой точки x X существует, вообще говоря, свой номер n ₀ = n ₀(, x), для которого при n > n ₀ выполняется неравенство

| f_n (x) - f (x)| < ,

и может оказаться, что для всех точек x X невозможно подобрать общий номер n ₀, обладающий указанным свойством.
Равномерная же сходимость последовательности { f_n } к функции f означает, что, какое бы число > 0 ни задать, можно подобрать такой номер n ₀, что в любой точке значение функции будет отличаться от значения функции меньше, чем на (рис. 124).

Лемма 1. Для того чтобы последовательность { f_n } равномерно сходилась на X к функции f, необходимо и достаточно, чтобы

| fn (x) - f (x)| = 0.

(31.8)

Значение этой леммы состоит в том, что она сводит понятие равномерной сходимости поледовательности { f_n } функций к понятию сходимости числовой последовательности

{ | f_n (x) - f (x)|}

("числовой" в широком смысле этого слова: конечное число членов указанной последовательности может обратиться в + ). В силу этого обстоятельства условие (31.8) часто бывает удобно использовать для выяснения, сходится ли равномерно интересующая нас конкретная последовательность функций.
1. Пусть

f_n f.

Зададим произвольно > 0. Тогда существует такой номер n ₀, что для всех n > n ₀ и всех x X выполняется неравенство | f_n (x) - f (x)| < , а следовательно, для всех n > n ₀ - неравенство

| f_n (x) - f (x)| < .

Это и означает выполнение условия (31.8).
2. Пусть выполнено условие (31.8). Зададим произвольно > 0. Тогда в силу определения предела числовой последовательности существует такой номер n ₀, что для всех n > n ₀ выполняется неравенство

| f_n (x) - f (x)| < ,

а следовательно, для всех n > n ₀ и всех x X - неравенство

| f_n (x) - f (x)| < .

Это означает, что

f_n f.

Следствие. Если существует стремящаяся к нулю последовательность { _n }:

_n = 0.

такая, что для всех x X выполняется неравенство

| fn (x) - f (x)| < n,

(31.9)

то последовательность { f_n (x)} равномерно сходится к функции f (x) на множестве X.
Действительно, поскольку неравенство (31.9) выполняется для всех x X, то

| f_n (x) - f (x)| < _n,

а поэтому из условия _n = 0 получаем, что

| f_n (x) - f (x)| = 0.

Замечание 1. Очевидно, что из определения равномерной сходимости последовательности функций следует, что если какие-то последовательности равномерно сходятся на некотором множестве, то и любая их конечная линейная комбинация равномерно сходится на этом множестве.

Б1. 17 ЛЕБЕГА ИНТЕГРАЛ

Одноиз наиболее важных обобщений понятия интеграла. Пусть - пространство с неотрицательной полной счетно аддитивной мерой причем Простой ф у н к ц и е й наз. измеримая функция принимающая не более счетногомножества значений: Простаяфункция gназ. суммируемой, если ряд

сходится абсолютно; сумма этого ряда есть интеграл Лебега:

Функция суммируема на если существует равномерно сходящаяся намножестве полной меры к f последовательность простых суммируемых функций g_n и предел

конечен. Число I есть интеграл Лебега:

Определение корректно: предел I существует и не зависит от выбора последовательности g_n. Если то I - измеримая почти всюду конечная функция на X. Л. и. есть линейный неотрицательныйфункционал на обладающий следующими свойствами:

В случае, когда

интеграл Лебега

определяется как

при условии, что этот предел существует и конечен для любой последовательности Е _п такой, что

В этом случае свойства 1), 2), 3) сохраняются, а свойство 4) нарушается. Опереходе к пределу под знаком Л. и. см. Лебега теорема. Если Аесть измеримое множество X, то Л. и.

определяется или, как указано выше, заменой Xна А, или как

где - характеристич. функция А;эти определения эквивалентны. Если для любого измеримого Если

измеримо для каждого п, для

Обратно, если при тех же условиях на А _n для каждого и

то и верно предыдущее равенство ( -аддитивность Л. и.).

Функция множества

абсолютно непрерывна относительно если то F(А).есть неотрицательная абсолютно непрерывнаяотносительно мера. Обратное утверждение представляет Радона - Никодима теорему.

Для функций название "интеграл Лебега" применяется к соответствующему функционалу, если мера есть Лебега мера;при этом множество суммируемых функций обозначается просто L(Х).иинтеграл

Для других мер этот функционал наз. Лебега-Стилтьеса интегралом.

Если - неубывающая абсолютнонепрерывная функция, то

Если

-мо-

нотонна на

и существует точка

такая, что

(вторая теорема о среднем).

А. Лебег дал в 1902 (см. [1]) определение интеграла для и меры являющейся мерой Лебега. Онстроил простые функции, равномерно приближающие почти всюду на множестве конечной мерыЕизмеримую неотрицательную функцию и доказал существование общего предела(конечного или бесконечного) интегралов этих простых функций при стремлении их к f. Л. и. является базойдля различных обобщений понятия интеграла. Как отметил Н. Н. Лузин [2], свойство 2) - т. н. абсолютнаяинтегрируемость, выделяет Л. к. для из всевозможных обобщенных интегралов.

 

Б1. 18 Интеграл Лебега от ограниченной функции

 

Пусть действительная функция y = f (x) измерима и ограничена на ограниченном интервале [ a, b ] и A и B - соответственно ее нижняя и верхняя точные границы. Разобъем интервал [ A, B ], содержащий множество значений функции f (x) на [ a, b ], на n частей:

A = y ₀ < y ₁ < y ₂ <... < y_n = B,

и обозначим через S_i множество точек x интервала [ a, b ], в которых . Составим две суммы (интегральные суммы Лебега):

и .

Обе интегральные суммы стремятся к одному и тому же пределу, не зависящему от выбора значений y_i, если только наибольшая из разностей y_i - y_{i -1} стремится к нулю. Число

есть определенный интеграл от функции f (x) по интервалу [ a, b ] в смысле Лебега (интеграл Лебега).

Это определение означает, что, каково бы ни было положительное число , можно указать такое число , что при любом разбиении интервала [ A, B ] на части такие, что , будут справедливы неравенства

и ,

а значит, и неравенство

где (интеграл Лебега можно определить и как предел суммы ).

 

 

Б1. 19 Интеграл Лебега

Пусть измерима на . ф-ции .

Опр. Ф-ция наз. интегрируемой на , если , а число наз.интегралом Лебега от ф-ции по множеству . Если ф-ция интегрируема, то интеграл всегда существует, т.к и

Свойства интеграла Лебега:

1. Если на , то

Поскольку , то и и

2. Если - интегрируема на , а - измерима на , на , то - интегрируема на .

3. Пусть и интегрируемы на . Тогда имеем и

4. Счетная аддитивность интеграла Лебега:

Пусть интегрируема на и , измеримые множества. Тогда , причем ряд абсолютно сходится.

5. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега:

Если интегрируема на , то

Заметим, что .

Ввиду аналогичного свойства для неотрицательных функций имеем, что

Для этого же

Выберем так, чтобы (отсутствие такого противоречит абсолютной непрерывности интеграла Лебега для неотрицательной функции), тогда, в виду нер-ва (*)

6. Если ф-ция п.в. на , то
Если , то (док-во этого факта от противного). Следовательно, имеем на основании свойства для неотрицательных функций.

Если ф-ции и равны п.в на , то , - неотрицательны.)
Если и просты на , то, очевидно, свойство выполнено. (ввиду того, что множество на которых у и различные значения, имеет меру 0, тогда и сумма, стоящая в определении интеграла Лебега от простой функции, будет одна и та же). - простую на . Полагая ее равной 0 на . Переходя к функции равной п.в., получили функцию . Ввиду того, что по предыдущему пункту , тогда т.в.г. у множеств из определения интеграла Лебега от неотрицательной функции для и будут равны.