Б1. 1. Множество. Подмножество. Равные множества. Пустое множество. Объединение, пересечение, разность, симметрическая разность множеств. Дизъюктные множества.

Б1. 1. Множество. Подмножество. Равные множества. Пустое множество. Объединение, пересечение, разность, симметрическая разность множеств. Дизъюктные множества.

Б1. 2. Сравнение множеств. Мощность. Примеры.

Б1. 3. Взаимооднозначное соответствие между множествами.

Б1. 4. Множества меры нуль. Мера пустого множества.

Б1. 5. Свойства внешней меры.

 

 

Б1. 6. Измеримые множества

Б1. 7. Операции над измеримыми множествами

Б1. 8. Измеримые функции. Теоремы о функции, заданной на множестве меры нуль и равной константе.

Б1. 9. Арифметические операции над измеримыми функциями

 

Б1. 10. Эквивалентные функции

Определение 4. Функция f называется эквивалентной функции g (или асимптотически равной ей) при x x ₀, если

(x) = 1.

(9.26)

В этом случае пишут f ~ g, x x ₀.

Замечание 1. Если x ₀ X, то, как известно, из существования предела (x) следует, что

(x) = (x ₀). Поэтому в случае (9.24) имеем (x ₀) = 0, а в случае (9.26) - (x ₀) =1. Если f =o (g), x x ₀ и g (x) = 0, то функция f называется бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая g. В случае f =o (gⁿ), x x ₀, бесконечно малую f называют бесконечно малой порядка n относительно бесконечно малой g.

Замечание 2. Если в условиях определений 3 или 4 функция g не обращается в нуль на множестве x X U и x ₀ X, то условие (9.24) можно записать в виде

[ f (x)/ g (x)] = 0,

(9.27)

а условие (9.26) - в виде

[ f (x)/ g (x)] = 1.

(9.28)

Замечание 3. Если x ₀ X, и существует конечный предел

[ f (x)/ g (x)] = k,

(9.29)

то функция f (x)/ g (x) ограничена на пересечении некоторой окрестности U (x ₀) точки x ₀ с множеством X т. е. существует такая постоянная c > 0, что для всех x X U выполняется неравенство | f (x)/ g (x)| < c, т. е. | f (x)| < c | g (x)|,

откуда следует, что при выполнении условия (9.29) имеет место соотношение

f (x) = O (g (x)), x x ₀.

Теорема 1. Для того чтобы функции f (x) и g (x) были эквивалентны при x 0, необходимо и достаточно, чтобы

f (x) = g (x) + o (g (x)), x 0.

Б1. 11. Эквивалентность непрерывных функций

 

Б1. 12. Определение свойства почти всюду

 

 

Б1. 13. Сходимость почти всюду

 

Б1. 14. Простые функции

 

Б1. 15. Интеграл Лебега простой функции

Мы введем понятие интеграла Лебега сначала для функций, названных выше простыми, т. е. для измеримых функций, принимающих конечное или счетное число значений.

Б1. 21. Теорема Леви

 

Б1. 22. Лемма Фату

 

Б1. 23. 24. Теорема Лебега

 

 

Б1. 31. Замыкание множества. Предельная точка

Замыкание множества

Определение 8.1. Точка х называется точкой прикосновения множества А (Х, τ), если любая ее окрестность имеет непустое пересечение с А.

Совокупность всех точек прикосновения множества А называется замыканием множества А и обозначается А с чертой.

Операция перехода от множества А к множеству называется операцией замыкания. Любая точка множества А является его точкой прикосновения, но есть точки прикосновения, которые не принадлежат множеству А.

Так, например, замыканием интервала (a, b) является отрезок [ a, b ], замыканием открытого шара в R ⁿ - замкнутый шар (вместе с ограничивающей его сферой). Замыкание множества Q рациональных чисел на прямой совпадает со всей числовой прямой:.

Из определения замыкания следует также, что замыкание пустого множества пусто, а замыкание всего пространства Х совпадает с Х. Операция замыкания обладает также свойствами:

1. M ,  М,

2. Если M N, то (монотонность замыкания),

3. (идемпотентность).

Предельная точка множества. Предел функции в точке

Пусть . Число называется предельной точкой множества X, если

Из определения следует, что любая окрестность точки x ₀ содержит точку из множества X, отличную от x ₀. Сама точка x ₀ может принадлежать, а может и не принадлежать множеству X.

Значение +∞ есть предельная точка множества X, если

Значение -∞ предельная точка множества X, если

Число называется предельной точкой множества , если из этого множества можно выделить последовательность (x_n) различных точек, сходящуюся к x ₀. (Данное определение и определение, указанное в самом начале эквивалентны)

 

Пополнение.

Всякое метрическое пространство можно вложить в полное метрическое пространство таким образом, что метрика – продолжает метрику Х, а подпространство Х всюду плотно в . Такое пространство – называется пополнением Х и обычно обозначается .

Построение.

Для метрического пространства , на множестве фундаментальных последовательностей в Х можно ввести отношения эквивалентности

Можно классов эквивалентности – с метрикой, определенной

,

является метрическим пространством. Само пространство изометрически вкладывается в него следующим образом: точке соответствует класс постоянной последовательности . Получившееся пространство и будет пополнением .

Свойства:

· Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.

· Полнота наследует замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.

· Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено, то есть для любого пространство можно покрыть конечным числом шаром радиуса

· Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства

Примеры:

· Множество вещественных чисел полно в стандартной метрике

· Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно

· Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.

· Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространсво.

Б1. 37.Компактное множество

Определение. Пусть множество . Семейство открытых множеств называется открытым покрытием множества Е, если каждая точка принадлежит хотя бы одному из множеств , т.е. если .

Определение. Множеств называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество Е. Это подсемейство называется конечным подпрокрытием.

Например, множество, состоящее из одной точки, двух точек или любого конечного набора точек, очевидно, компактное. Пусть . Диаметром множества Е называется число

diam , т.е. верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек из Е. Например, если - - мерный сегмент, то, diam ,где .

Лемма (о вложенности сегментах). Пусть - последовательность вложенных сегментов из , т.е. , диаметры которых стремится к нулю при . Тогда существует, и притом единственная, точка , принадлежащая всем этим сегментам.

Доказательство. Пусть .При каждом фиксированном последовательность одномерных отрезков состоит из вложенных друг в друга отрезков, т.е. б и длины этих отрезков стремятся к нулю при . По лемме Кантора, для зафиксированного i найдется число такое, что , т.е. .Но тогда точка , очевидно, принадлежит всем . Двух различных точек, принадлежащих всем одновременно, быть не может. Действительно, если , то . По условию правая часть стремится к нулю при , так что

Б1. 39.Теорема Арцела

Теорема (Арцела).

Пусть функции заданы f_n: K₁ → K₂ и

1) K₁, K₂ — компактные метрические пространства;

2) последовательность функций {f_n} является равностепенно непрерывной:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x’ ∈ K₁, ∀n ∈ N (ρ₁(x, x’)) δ ⇒ ρ₂(f_n(x), f_n(x’)) ε.

Тогда из последовательности {f_n} можно извлечь подпоследовательность, равномерно сходящуюся к некоторой функции f ∈ C(K₁, K₂).

 

Доказательство.

1. Построим (это возможно в силу компактности K₁) конечные 1-, 1/ 2 -, 1 /4 и т. д. сети. Упорядочив совокупность точек этих сетей в порядке перечисления и выбрасывая из последовательности повторяющиеся точки, получим счётное всюду плотное в K₁ множество X = {x₁, x₂, x₃,..., x_l,...}. Для каждого фиксированного l рассмотрим последовательности {f_n(x_l)}. В силу компактности множества значений K₂ с помощью «диагональной процедуры» можно выделить такую подпоследовательность {f_nk }, которая будет сходиться в каждой точке x_l ∈ X:

.(1)

Для сокращения записи будем далее обозначать полученную подпоследовательность функций {f_nk } одним индексом: f_k ≡ f_nk, не смешивая её с исходной последовательностью.

2. Докажем, что полученная функциональная подпоследовательность сходится поточечно при всех x ∈ K₁, а не только при x_l ∈ X, и, более того, сходимость равномерна на K₁. Пусть задано ε > 0. Пользуясь неравенством треугольника, запишем для произвольного x ∈ K₁:

. (2)

где x_l будет определено ниже. Пользуясь равностепенной непрерывностью исходной функциональной последовательности (а значит, и выбранной подпоследовательности), найдём такое δ > 0, что для всех k ∈ N и ρ₁(x’, x”) < δ будет выполнено ρ₂(f(x’), f(x”)) < ε /3. Найдём первое среди чисел 2 ^−j, j ∈ N, меньшее δ. Рассмотрим конечное множество X_j ⊂ X, состоящее из всех элементов выбранных ранее 1-, 1/ 2 -,..., 1/ 2 ^j - сетей в K₁. (Легко видеть, что тогда для каждого x ∈ X ближайший к нему элемент x_l ∈ X_j находится на расстоянии меньше δ.) В силу сходимости последовательности {f_k} во всех точках X_j (поскольку она по построению сходится всюду на X) существует такое N ∈ N (зависящее только от ε, но не от x!), что для любых k, m > N и для любого x_l ∈ X_j верно неравенство

ρ₂(f_k(x_l), f_m(x_l)) < ε/ 3.(3)

Поскольку ближайший к произвольному фиксированному элементу x ∈ K₁ элемент x_l ∈ X_j находится на расстоянии ближе δ, то с учётом выбора δ и два остальных слагаемых в (2) меньше ε /3, откуда мы получаем

ρ₂(f_k(x), f_m(x)) < ε. (4)

при всех x ∈ K₁ и всех k, m > N(ε). Тем самым установлена «равномерная фундаментальность» последовательности {f_k} на K₁. Из этого факта следует сходимость в каждой точке, а также равномерность этой сходимости: для доказательства последней достаточно перейти в (4) к пределу при m → ∞ (уже зная, что он существует поточечно). Итак, мы доказали, что из данной последовательности можно извлечь равномерно сходящуюся последовательность, предел которой — как равномерный предел непрерывных функций — сам представляет собой непрерывную функцию.

Теорема доказана.

Б1. 1. Множество. Подмножество. Равные множества. Пустое множество. Объединение, пересечение, разность, симметрическая разность множеств. Дизъюктные множества.

Б1. 2. Сравнение множеств. Мощность. Примеры.