Теоретико – множний зміст кількісного числа і нуля.

Кількісне натуральне число являється загальною властивістю класу скінчених рівно потужних множин. Кожному класу відповідає єдине натуральне число, кожному натуральному числу – єдиний клас рівно потужних множин. Число нуль також має теоретико - множинний зміст – воно ставиться в відповідність пустій множині.

Коли учні вивчають число «один», то на сторінці підручника приводяться зображення одного предмета, число «три» - сукупність трьох предметів. Так відбувається при вивченні всих чисел першого десятку, але число елементів множини визначається перерахуванням. Таким чином, кількісні і порядкові числа виступають в початковому навчанні в єдності.

4. Додавання. Закони додавання.

Розглянемо задачу, яку розв‘язують першокласники: «Петрик знайшов 4 гриба, а Катя – 3. скільки всього грибів знайшли діти?». Для пояснення розв‘язання цієї задачі уявимо умову наглядно. Щоб дати відповідь на питання, потрібно до грибів Петрика додати (приєднати) гриби Каті, тобто об‘єднати дві множини грибів, і перерахувати кількість елементів нової множини.

Сумою цнч а і в називають число елементів в об‘єднанні неперетинаючихся множина і В. сума цнч завжди існує і єдина. Дія, при якій знаходять сума називається додаваня, а числа, які додають – доданками.

Сума трьох доданків визначається наступним чином: .

Закони додавання:

1. Комутативний (переставний) .

2. Асоціативний (сполучний) .

Наприклад, раціонально обчислити значення виразу 109+ 36 + 191 +64+27=ком. закон = 109+191 + 36+64 +27=ас. закон =(109+191)+(36+64)+27=300+100+27=ас. закон =(300+100)+27=400+27=427.

 

Лекція 9,10. Теоретико – множний підхід до побудови цілих невід‘ємних чисел.

Мета: розглянути теоретико – множний підхід до дій над цілими невід‘ємними числами, законами, дій над числами. Пояснити застосування законів при розв‘язанні практичних задач. Закріпити вміння і навички студентів використовувати раціональний спосіб розв‘язання. Розвивати усний рахунок і пам‘ять студентів.

План:

1. Порівняння чисел.

2. Віднімання.

3. Множення, закони множення.

4. Ділення.

5. Ділення з залишком.

 

 

1. Порівняння.

Нагадаємо, що два числа і з теоретико – множної точки зору представляють собою кількість елементів множин. Два числа і - рівні, якщо вони визначаються рівносильними множинами: = , якщо А=В при і .

Якщо число при рахунку називають раніше числа , то і навпаки. Якщо множина А рівносильна власній підмножині В, то кажуть що при і .

Число тоді і тільки тоді, коли існує таке число с, що

2. Віднімання.

Задача: «Коло школи росли 8 дерев – тополь і беріз. Беріз 3, а скільки тополь?».

Різницею чисел і називають число елементів доповнення множини В до множини А.

, де і , .

Різницею чисел і називають таке число с, сума якого з числом дає число . .

Дія за допомогою якої знаходять різницю називається відніманням, а компоненти: зменшуване, від‘ємник, різниця.

Різниця чисел і існує тоді і тільки тоді, коли . Вірність даної операції перевіряється додаванням. Якщо різниця існує, то вона єдина.

В початковій школі спочатку віднімання чисел розглядається на основі практичних вправ, пов’язаних з виділенням підмножини заданої множини і утворенням нової множини – доповнення виді ленної підмножини.

Відношення «більше на», «менше на».

Який зміст цих відношень? Припустимо, що числа і знаходяться в відношенні менше. це значить, що в множині В можна виділити власну підмножину С, а кількість елементів доповнення В/С дорівнює с. В цьому випадку кажуть, що число менше числа на с або число більше числа на с. значить, щоб дізнатися, на скільки одне число менше чи більше іншого, потрібно з більшого числа відняти менше. Наприклад, «У школи посадили 4 дуба і 9 лип. На скільки більше посадили лип?» і «Коло школи посадили 4 дуба, а лип на 5 більше. Скільки лип посадили?».

Правила віднімання числа з суми і суми із числа:

· Щоб відняти число від суми, достатньо відняти його з одного з доданків і до отриманого результату додати інший доданок: а) якщо , то , б) якщо , то .

· Щоб відняти від числа суму чисел, достатньо відняти від цього числа послідовно доданки: .

 

3. Множення.

Задача: «На кожне дитяче пальто потрібно пришити по 4 ґудзика. Скільки ґудзиків знадобиться для 6 пальт?».

Добутком чисел і називається таке число с= , яке задовольняє умовам:

1) ( раз) при 1.

2)

3) .

Дія за допомогою якої знаходять добуток чисел називається множенням, а компоненти: перший множник, другий множник, добуток.

Добуток чисел і можна розглядати як кількість елементів декартового добутку множин А іВ.

Добуток існує і тільки один.

Закони множення:

Комутативний (переставний)- ,

Асоціативний (сполучний)- ,

Дистрибутивний (розподільний) по відношенню до додавання і по відношенню до віднімання .

Наприклад, користуючись законами множення обчислити значення виразу: .

 

4. Ділення.

Припустимо і множина А розбита на підмножини, які не перетинаються. Якщо - число підмножин в розбитті множини А, то часткою чисел і називають число елементів кожної підмножини. Наприклад, «8 апельсинів розклали по 2 на кожну тарілку. Скільки знадобиться тарілок?». Якщо - число елементів кожної підмножини в розбитті множини А, то часткою чисел і називають число підмножин в розбитті. Наприклад, «12 олівців роздали 3 учням порівну. Скільки олівців отримав кожний?».

Дія за допомогою якої знаходять частку називають ділення, а компоненти: ділене, дільник, частка.

Правильність ділення перевіряється множенням.

Ч асткою чисел і називається число с= , добуток якого з числом дорівнює : .

Щоб частка існувала необхідно, щоб . Якщо частка існує, то вона єдина. На нуль ділитине можна.

Щоб знати, у скільки разів одне число більше за інше, необхідно більше число поділити на менше. Наприклад, «У Каті 6 зошитів, а у Дмитра в два рази менше. Скільки зошитів у Дмитра?» і «Купили 3 парти і 12 стільців. У скільки раз менше купили парт, ніж стільців?».

Правило ділення суми на число: якщо числа і діляться на число с, то їх сума ділиться на число с; частка, яку отримують при діленні суми + на число с, дорівнює сумі часток, які отримують при діленні числа на с і числа на с: .

Правило ділення числа на добуток: якщо число ділиться на числа і с, то щоб поділити число на добуток , достатньо поділити число на число або на число с і отриману частку поділити на число с або на число . .

Правило добутку числа на частку: щоб помножити число на частку чисел, достатньо помножити це число на ділене і отриманий добуток поділити на дільник: .

5. Ділення з залишком.

Число 37 на 8 не ділиться, але існують такі числа 4 і 5, що . Поділити число з залишком на інше число – це значить знайти такі цілі невід‘ємні числа і , що . Залишок обов‘язково має бути меншим дільника.