Лекція 2. Математичні твердження. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Лекція 2. Математичні твердження.



Мета:

Основні питання:

1. Елементарні і складові твердження.

2. Висловлення.

3. Висловлювані форми.

4. Квантори.

5. Правила побудови заперечень висловів, які містять квантори.

I. Елементарні і складові твердження. В пізнанні оточуючого світу, людина встановлює різноманітні зв‘язки між об‘єктами, між об‘єктами і їх властивостями та ін. кожне математичне речення характеризується змістом і логічною структурою. Розглянемо уважніше структуру тверджень. В математиці розрізнюють елементарні і складові твердження. Твердження «число 28 ділиться на 7» є елементарним. Складовими твердженнями являються, наприклад, наступні: «число 28 парне і ділиться на 7», «число 5 менше або дорівнює 8», «якщо трикутник рівнобедрений, то кути в ньому при основі рівні», «число 14 не ділиться на 4». Складові твердження утворюються з елементарних за допомогою слів «і», «або», частки «не», «якщо, то». Ці слова в математиці називають логічними зв‘язками. Виявити логічну структуру складового твердження – значить встановити: 1) з яких елементарних тверджень утворено складове твердження, 2) за допомогою яких логічних зв‘язок воно утворене. (розглянути приклади, які наведені раніше).

II. Висловлення. Серед суджень, які встановлюють різноманітні відношення між математичними поняттями, вислови і висловлювані форми. Висловом називається твердження, відносно якого має сенс питання, істинно воно чи хибне. Наприклад, «число 6 парне» є істинним висловом, а «2+4=9» - хибним. Кожному вислову приписують одне з двох значень: І(істина), якщо воно істинне, і Х(хибність), якщо воно хибне. Значення І і Х називають значеннями істинності висловлення. Якщо висловлення елементарне, то його значення істинності визначають по змісту, спираючись на відомі факти. В складових висловленнях на допомогу приходить форма висловлення. Вважають, що вислів виду «А і В» істинний, якщо істинні обидва вислови А і В. якщо хоча б одне з них є хибним, то вислів «А і В» є хибним. Висловлення виду «А або В» вважають істинним, якщо істинний хоча б один з висловів А і В. Висловлення «А або В» хибне, коли хибні обидва вислови А і В. Часто в математиці приходиться будувати висловлення, в яких щось заперечується. Заперечення вислову позначається і читають «не А» або «невірно, що А». Взагалі запереченням вислову А вважається істинним, коли вислів А хибний, і «не А» є хибним, коли А істинний. ТАБЛИЦЯ.

III. Висловлювані форми. В математиці часто зустрічаються твердження, які містять одну або декілька змінних. Наприклад, . Ці твердження не являються висловами, так як відносно їх не має сенсу питання, істинні вони чи хибні. Але при підстановці значень змінних ці твердження перетворюються в вислови істинні або хибні. Твердження такого виду називають висловлюваними формами. Кожна висловлювана форма породжує вислів тієї ж форми. Наприклад, дозволяє отримати вислови . Висловлювана форма – це твердження з однією або декількома змінними, яке обертається в висловлення при підстановці в нього конкретних значень змінних. Також як і висловлення, висловлювані форми бувають елементарними і складовими. Складові утворюються з елементарних за допомогою логічних зв‘язок «і», «або», «не» і т.д.

IV. Квантори. Прочисла 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 можна сказати: всі подані числа однозначні і деякі з цих чисел є парними. Так як відносно цих тверджень можна сказати, що вони істинні чи хибні, то отримані твердження – висловлення. Слова «всі» і «деякі» називають кванторами. Слово квантор з латинського перекладається як «скільки», тобто квантор показує, о скількох (всіх або деяких) об‘єктах йдеться в твердженнях. Розрізняють квантори спільності і існування. Квантори спільності – це слова «будь-який», «всякий», «кожний», «всі». Квантори існування – це слова «існує», «деякі», «хоча б один». Таким чином, якщо перед висловлюваною формою поставити деякий квантор, то отримаємо вислів. Форму висловлення з квантором мають більшість математичних тверджень. Наприклад, всі квадрати являються прямокутниками; деякі парні числа діляться на 4; в будь-якому прямокутнику сума внутрішніх кутів дорівнює . Істинність висловів з кванторами спільності встановлюється шляхом доведення. Щоб впевнитися в хибності таких висловів, достатньо навести контр приклад. Наприклад, 1) Будь-яке число 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 являється розв‘язком нерівності (підставляючи всі значення в нерівність довели істинність вислову, а значить, за індукцією, будь-яке дійсне число задовольняє нерівності). 2) Сума будь-яких послідовних натуральних чисел ділиться на 3 (істинність доводиться безпосередньо). 3) будь-який прямокутник являється квадратом (достатньо накреслити прямокутник, який не являється квадратом і доведена хибність вислову – контр приклад). Істинність висловів з кванторами існування встановлюється за допомогою конкретного прикладу. Щоб впевнитися в хибності такого вислову, необхідно провести доведення. Наприклад, 1) існують натуральні числа, кратні 3 (6, 9, 12 і т.д.). 2) Існують прямокутні рівносторонні трикутники (є хибним, тому що в прямокутному трикутнику один кут обов‘язково прямий, а в рівносторонньому всі кути містять , значить, серед прямокутних трикутників рівносторонніх не існує).

V. Правила побудови заперечень висловів, які містять квантори. Заперечення висловів з квантором (спільності або існування) може бути побудоване двома способами:

1) перед даним висловом ставляться слова «невірно що»; 2) квантор спільності (існування) замінюється квантором існування (спільності), а твердження, яке стояло після квантора, замінюється його запереченням. Сформульоване правило являється достатнім для правильної побудови заперечення висловів з квантором. Заперечення даного вислову може бути побудовано і в іншій формі. Важливо тільки не забути вимогу: якщо вислів хибний, то його заперечення повинно бути істинним, і навпаки. Наприклад, 1) «деякі непарні числа діляться на 4» -хибність, його заперечення: «невірно, що деякі числа діляться на 4», або «всі непарні числа не діляться на 4». 2) «всі натуральні числа діляться на 3» - хибність, його заперечення має вид: «невірно, що всі натуральні числа діляться на 3», або «існують натуральні числа, які не діляться на 3».



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 392; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.85.167.119 (0.006 с.)