Лекція 13, 14. Раціональні числа.

План:

1. Поняття дробу.

2. Поняття додатного раціонального числа.

3. Дії над раціональними числами.

4. Нескінчені періодичні десяткові дроби.

 

1. Поняття дробу.

Зв'язок між множинами чисел можна уявити наглядно за допомогою кругів Ейлера. Нехай заданий відрізок і одиничний відрізок , причому відрізок буде сумою відрізків . Якщо відрізок складається з відрізків , то його довжина представлена в виді . Символ називають дробом, де , - натуральні числа. Дроби, що виражають довжину одного відрізку при одиниці довжини , називають рівними. Наприклад, .

Признак рівності дробів: для того, щоб дроби і були рівні, необхідно і достатньо, щоб .

Властивість: якщо чисельник і знаменник дробу помножити на одне число, то отримаємо дріб, рівний даному. На цій властивості основане скорочення дробу і зведення дробів до спільного знаменника. Скорочення дробу - це заміна даного дробу іншим, що дорівнює даному, але з меншим чисельником і знаменником. Дріб - дріб, що не скорочується. Результатом скорочення має бути дріб, що не скорочується.

Зведення дробів до спільного знаменника – це заміна дробів рівними їм, які мають спільний знаменник.

 

2. Поняття додатного раціонального числа.

Додатне раціональне число – це множина рівних дробів, а кожний дріб, що належить цій множині, є запис цього числа. Наприклад, .

Для будь-якого додатного раціонального числа існує єдиний дріб, що не скорочується і являється записом цього числа.

Множина додатних раціональних чисел позначається , в яку входить вся множина натуральних чисел . Числа, які доповнюють множину , називається дробовими числами.

 

3. Дії над додатними раціональними числами.

1) Сумою дробів і є число, яке знаходять за правилом: .

Сума дробів з різними знаменниками є сумою дробів, зведених до спільного знаменника. Наприклад, .

Додавання раціональних чисел є комутативним і асоціативним .

Існують дроби правильні і неправильні. Дріб називається правильним, якщо його чисельник менше за знаменник і неправильним, якщо чисельник більший, або рівний за знаменник. Наприклад, .

- це правило виділення цілої частини з неправильного дробу, результатом є мішане число. Будь-яке мішане число можна записати в виді неправильного дробу. Наприклад,

2) Різницею додатних раціональних чисел називається таке число с, що , або . Наприклад,

3) Добутком додатних раціональних чисел є число, яке знаходять за правилом: (для того щоб помножити два дроби потрібно добуток чисельників цих дробів записати в знаменник нового дробу, а добуток знаменників цих дробів записати в знаменник нового дробу). Наприклад, .

Добуток підкоряється комутативному закону і асоціативному .

4) Часткою двох додатних раціональних чисел називається число (щоб поділити дріб на дріб, потрібно перший дріб помножити на обернений до другого дробу). Наприклад,

В множині натуральних чисел є найменше число 1 і N – дискретна множина.

В множині раціональних чисел не існує найменшого числа і між будь-якими двома числами є нескінчена кількість чисел з (властивість щільності множини). Кожне раціональне число можна записати в виді звичайного дробу , або десяткового дробу . Для того, щоб звичайний дріб записати як десятковий = , необхідно і достатньо, щоб в розкладі знаменника були числа 2 і 5.

4. Нескінчені періодичні десяткові дроби.

Візьмемо дріб , його не можна записати десятковим дробом. , але в цьому числі є періоди, такий дріб називається періодичним, пишуть .

Теорема. Якщо звичайний дріб не являється скороченим, і в розкладі знаменника є простий множник, відмінний від 2 і 5, то являється нескінченим десятковим періодичним дробом.

З теореми випливає: будь-яке додатне раціональне число можна представити або скінченим десятковим дробом, або нескінченим періодичним дробом. Чисто періодичний нескінчений дріб дорівнює такому звичайному дробу, чисельник якого дорівнює періоду, а знаменник складається з стількох 9,скільки цифр в періоді дробу. Наприклад, . Мішано періодичний дріб з нулем в цілій частині дорівнює такому звичайному дробу, чисельник якого дорівнює різниці між числом, що записане цифрами(стоять до початку другого періоду) і числом, що записане цифрами (стоять до початку першого періоду), а знаменник складається з такого числа 9, скільки цифр в періоді, і такого числа нулів, скільки цифр стоїть до початку першого періоду. Наприклад, . Існують чисто періодичні дроби – в яких період починається одразу після коми, і мішано періодичні дроби – в яких між комою і періодом є інші десяткові знаки. Наприклад, 0,(857142) і 3,27(346).

 

Лекція 15,16. Дійсні числа.

План:

1. Поняття ірраціонального додатного числа.

2. Дійсні числа, дії над ними.

3. Від‘ємні числа.

 

1. Поняття ірраціонального додатного числа.

Дії над раціональними числами зручно виконувати, коли вони записані десятковими дробами. Тому краще і результати вимірів величин представляти в виді десяткових дробів. Якщо уявити процес десяткового виміру довжини відрізку в ідеалі(як це роблять в математиці), то можливі два варіанта: 1) на якомусь кроці процес виміру відрізку скінчиться. Тоді довжина відрізку буде виражена скінченим десятковим дробом виду . 2) описаний процес виміру довжини відрізку нескінчений. Тоді його представляють символом , який називають нескінченим періодичним дробом. Існують відрізки, довжина яких не являються періодичним десятковим дробом, тобто раціональним числом, при вибраній одиниці виміру. Такі нескінчені неперіодичні десяткові дроби називають додатними ірраціональними числами. Ірраціональні числа можна отримати і при знаходженні радикалів із деяких раціональних чисел, наприклад , а також ірраціональними є числа числа

Множину додатних ірраціональних чисел позначають .

 

2. Дії над дійсними числами.

Множина додатних дійсних чисел - це об‘єднання множини додатних раціональних чисел і множини додатних ірраціональних чисел. Тому будь-яке дійсне число можна представити в виді нескінченого десяткового дробу – періодичного, якщо воно раціональне, або неперіодичного, якщо воно ірраціональне.

Дії над додатними раціональними числами зводяться, в принципі, до дій над натуральними числами.

Дії над нескінченими десятковими дробами можна звести до дій над раціональними, але необхідно ввести поняття приблизного значення дійсного числа за нестачею і залишком.

Число має приблизним значенням за нестачею з точністю до таке число (тобто це число отримаємо, якщо залишимо цілу частину числа , і перші к цифр після коми). Приблизним значенням числа з залишком з точністю до називають число (тобто це число отримаємо, якщо в запису останню цифру збільшити на 1).

Сумою дійсних чисел називається число , яке задовольняє нерівності .

Наприклад, знайти суму двох чисел з точністю до 0,001. Розглянемо їх приблизні значення , отже і з точністю до 0,001 маємо .

Добутком дійсних чисел називається число , яке задовольняє нерівності .

Наприклад, обчислити добуток чисел з точністю до 0,1. Отримаємо ,значить, з точністю 0.1 маємо .

Закони додавання і добутку дійсних чисел:

2) комутативний і

3) асоціативний і

4) дистрибутивний .

 

3. Від’ємні числа.

На координатній вісі усі точки, що стоять праворуч нуля являються додатними, а числа, що стоять ліворуч нуля називаються від’ємними. Числа, наприклад, 1 і -1 називають протилежними. Число нуль не являється ні додатним ні від’ємним. Усі точки координатної вісі відповідні дійсним числам. Множина дійсних чисел і координатна вісь знаходяться у взаємно однозначній відповідності: кожному дійсному числу відповідає єдина точка координатної прямої і навпаки. Відстань від нуля до точки, координата якої є число , називається модулемчисла. Записують так . Наприклад, .

Дії над числами:

1. Порівняння дійсних чисел: число , якщо воно розташовано лівіше на координатній прямій. Наприклад, 148>-2489, 214<6500.

2. Сумою двох дійсних чисел називається число , що задовольняє умовам:

1). Сума додатних чисел є число додатне; наприклад, 123+56=179

2). Сума від’ємних чисел є число від’ємне: додаємо модулі доданків і в переді ставимо знак мінус; наприклад, -12+(-45)=-57.

3). Сума чисел з різними знаками - це число, яке має знак такий, як і доданок з більшим модулем, а модуль суми – це різниця між доданками з більшим і меншим модулем, наприклад, 96+(-54)=42, -56+48=-8.

3. Добутком чисел є число , яке задовольняє умовам:

1). Добуток додатних чисел є число додатне, наприклад,

2). Добуток від’ємних чисел є число додатне; наприклад,

3). Добуток чисел з різними знаками є число від’ємне, наприклад, .

4. Віднімання і ділення – це дії, обернені додаванню і множенню.

 

 

II курс