Лекція 6, 7. Дії над множинами.

Мета:

Основні питання:

1. Перетин множин.

2. Об‘єднання множин.

3. Закони перетину і об‘єднання множин.

4. Доповнення підмножини.

5. Поняття розбиття множин на класи.

6. Задачі, пов‘язані з операціями над скінченими множинами.

7. Декартовий добуток множин.

8. Зображення декартового добутку множин на координатній площині.

I. Перетин множин. З елементів двох і більше множин можна утворити нові множини. Вважають, що ці нові множини являються результатом операцій над множинами. Нехай задані дві множини: і . Утворимо множину С, в яку включимо спільні елементи множин А і В: . Отриману множину С називають перетином множин А і В. Перетином множин А і В називається множина, яка містить тільки ті елементи, які належать множині А і множині В. Позначають і зображають МАЛ. В тому випадку, коли множини А і В не мають спільних елементів, говорять, що їх перетином являється пуста множина. Операція, за допомогою якої знаходять перетин множин, називається перетином. Згідно означенню перетину . Якщо елементи множин А і В перелічені, то щоб знайти їх перетин, достатньо перелічити їх спільні елементи. Якщо множини задані за допомогою характеристичною властивістю, то з означення перетину випливає, що ця характеристична властивість перетину складається з характеристичних властивостей заданих множин за допомогою союзу «і».

II. Об‘єднання множин. Об‘єднанням множин А і В називається множина, яка містить тільки такі елементи, які належать множині А або множині В. позначають і зображають МАЛ. Операція, за допомогою якої знаходять об‘єднання множин, називається об‘єднанням. Згідно означенню об‘єднання . Якщо елементи множин А і В перелічені, то для того, щоб знайти їх об‘єднання, достатньо перелічити елементи, які належать хоча б одній множині. Наприклад, . Якщо ж множини задані за допомогою характеристичної властивості їх елементів, то із означення об‘єднання випливає, що характеристична властивість об‘єднання складається з характеристичних властивостей множин А і В за допомогою союзу «або».

III. Закони перетину і об‘єднання множин. З означень перетину і об‘єднання множин випливає для будь-яких множин А і В справедливість рівностей і , які представляють собою запис комутативного закону для перетину і об‘єднання множин. Для перетину і об‘єднання множин справедливі також асоціативні закони: для будь-яких множин А, В і С виконуються рівності і . Наглядно уявити асоціативний закон можна за допомогою кругів Ейлера, а також провести доведення цих законів. Це пояснює, як знаходити перетин і об‘єднання трьох множин, якщо відомо правило для двох множин. Комутативний і асоціативний закони множин можна розповсюджувати на будь-яку кількість множин. Дистрибутивний закон: для будь-яких множин А, В і С справедливі рівності і . Якщо в виразі існують знаки перетину і об‘єднання і не існує дужок, то спочатку виконують перетин, так як вважають, що операція перетину більш «сильна», ніж об‘єднання.

IV. Доповнення підмножини. Щоб пояснити учням, що 5-2=3, часто використовують такий прийом. Беруть 5 предметів (кружків), після того, як учні впевняться за допомогою рахунку, що кружечків дійсно 5, їм пропонують 2 кружечка прибрати і порахувати, скільки кружечків залишилося – 2. Нехай . Доповненням множини В до множини А називається множина, яка містить ті елементи множини А, які не належать множині В. позначають . Операція, за допомогою якої знаходять доповнення підмножини, називається відніманням. Згідно з означенням доповнення . Якщо елементи множин А і В перелічені, то для того, щоб знайти , достатньо перелічити елементи, які належать А і не належать В. Так, якщо , а , то . В тому випадку, коли вказані характеристичні властивості елементів множин А і В, характеристична властивість множини має вид «». В запису множини нема дужок, тому (вважають, що операція перетину множин являється більш «сильною», ніж віднімання) спочатку виконують перетин множин В і С, а потім отриману множину віднімають з множини А..

V. Поняття розбиття множин на класи. Поняття множини і операцій над множинами дозволяє уточнити наше уявлення про класифікацію. Класифікація – це дія розподілу об‘єктів по класам на основі схожостей об‘єктів в самому класі і їх відмінності від об‘єктів інших класів. Як правило, метою класифікації являється систематизація наших знань. Наприклад, натуральні числа поділяються на парні і непарні; кути бувають гострі, прямі і тупі. Будь-яка класифікація пов‘язана з розбиттям деякої множини на підмножини. Вважають, що множина А розбита на класи , якщо: 1) підмножини , попарно не перетинаються; 2) об‘єднання підмножин співпадає з множиною А. Якщо не виконано хоча б одна з цих умов, класифікацію вважають неправильною. Так, множину трикутників можна розбити на три класи: гострокутні, прямокутні і тупокутні. Але не кожна система підмножин даної множини представляє собою розбиття цієї множини. Наприклад, якщо з множини трикутників виділити підмножини рівнобедрених, рівносторонніх і різносторонніх, то розбиття множини на класи не отримаємо. Щоб виділити підмножину, достатньо вказати характеристичну властивість його елементів. Розглянемо, наприклад, множину натуральних чисел і властивість чисел ділитися на 3. множина розіб‘ється на два класи: числа, кратні 3 і числа, не кратні 3. якщо задати одночасно дві властивості ділитися на 3 і ділитися на 5 дозволяє розбити множину на чотири класи: числа, кратні 3 і 5; числа кратні 3 і не кратні 5; числа, кратні 5 і не кратні 3; числа, не кратні 3 і не кратних 5. Але так відбувається не завжди, дві властивості «бути прямокутним» і «бути тупокутним» множину трикутників розбивають на три класи.

VI. Задачі, пов‘язані з операціями над скінченими множинами. В математиці часто приходиться розв‘язувати задачі, в яких треба визначити число елементів або в множині, або в об‘єднанні множин, або в доповненні підмножин. Існують певні прийоми розв‘язку таких задач. Умовимось позначати число елементів скінченої множини А . Якщо задані скінчені множини А і В, які перетинаються, то кількість елементів в їх об‘єднанні підраховують за формулою . Якщо ж множини А і В не мають спільних елементів, то число елементів в їх об‘єднанні визначають так: . Неважко впевнитися в тому, що якщо і відомо число елементів в множинах А і В, то число елементів в доповненні В до А підраховують за формулою . Розглянемо задачу: «З 40 учнів класу 34 вивчають німецьку мову, 23 – англійську, 17 – і німецьку і англійську. Чи є в класі учні, які не вивчають ні німецьку, ні англійську мови?». Відповідь: нема жодного учня в класі, який би не вивчав іноземні мови.

VI. Декартовий добуток множин.

В початкових класах учні розв’язують задачу: «Використовуючи цифри 1,2,3 утворіть всілякі двозначні числа». Такими являються 11,12,13,21,22,23,31,32,33. такі пари чисел впорядковані (важливий порядок слідування елементів). Впорядковану пару елементів позначають , де - перша координата (компонента), - друга. Дві пари рівні, якщо при . Можна утворити впорядковані пари з елементів різних множин. Наприклад, і , тоді - утворили нову множину.

Декартовим добутком множин А і В називається множина пар, перша компонента якої належить множині А, друга – множині В. Позначають .

Властивості:

1. анти комутативність: .

2. анти асоціативність: .

3. дистрибутивність до об‘єднання: .

Елементи декартового добутку двох скінчених множин зручно записувати за допомогою таблиці. Наприклад, (МАЛЮНОК).

В математиці розглядають впорядковані набори з 3,4,5…елементів, які називають кортежами. Наприклад, (1,5,6) – кортеж довжини 3, (2,0,7,8,9,4) – кортеж довжиною 6.

Декартовим добутком множин називається множина кортежем довжини , які утворені так, що перша координата належить множині , друга - ,…, остання - . Позначають .

Наприклад, , , , тоді .

VIII. Зображення декартового добутку множин на координатній площині

Скінчені множини, які містять невелику кількість елементів, зобразити їх декартовим добуток неважко. А якщо ж множини А і В нескінчені? Круги Ейлера в цьому випадку не допоможуть. Але декартовим добуток можна зобразити на координатній площині.

Координатна пряма – це пряма із заданим на ній початком відліку і додатнім напрямком. (МАЛЮНОК). З введенням координатної прямої встановлюється зв‘язок між точками прямої і дійсними числами: кожній точці М прямої відповідає єдине дійсне число Х – координата цієї точки, і навпаки.

Розглянемо дві взаємно перпендикулярні координатні прямі: ох – абсцис і оу – ординат, з спільним початком і одиницями довжини. Площину, в якій побудовані такі вісі називають координатною площиною. ПДСК дозволяє кожній точці площини поставити в відповідність єдину пару дійсних чисел – координат цієї точки, і навпаки. З введенням координат на прямій чи на площині з‘явилась можливість розв‘язувати багато геометричних задач засобами алгебри і навпаки, алгебраїчні задачі розв‘язувати наглядно. Поняття ПДСК і координат було введено в геометрії французьким вченим і філософом Рене Декартом в XVII столітті.

Припустимо, множини А і В – числові. Тоді елементами декартового добутку цих множин будуть впорядковані пари чисел. Якщо зобразити кожну пару чисел точкою на координатній площині, то отримаємо фігуру, яка буде наглядно представляти декартовим добуток . Наприклад, і , і , і , і , і . (МАЛ.)

ТЕОРЕМА. Я кщо множина А містить елементів, а множина В - елементів, то декартовим добуток цих множин містить елементів. Тобто, якщо , , то .

Правило підрахунку числа елементів декартового добутку широко використовується при розв‘язанні комбінаторних задач.

 

 

Семестр

Лекція 8. Поняття числа.

Мета: ввести поняття натурального числа, розповісти історію виникнення поняття натурального числа, пояснити, що називають рахунком і його роль в побутовому житті. Розвивати пам‘ять, культуру мови усної і писемної.

Основні питання:

1. Про історію виникнення натурального числа.

2. Порядкові і кількісні натуральні числа. Рахунок.

3. Рахунок. Теоретико – множний зміст кількісного числа і нуля.