Схема побудови розв’язку диференційного рівняння з частинними похідними

Наведемо схему побудови розв’язку диференційного рів-няння з частинними похідними, де шукана функція за-лежить лише від двох змінних і . Нехай вона задовольняє рівняння:

 

, (7.2)

 

де – неперервні функції від , задані на проміжку . Нехай треба знайти розв’язок рівняння (7.2) для напівнескінченної смуги: , , що задово-льняє задані додаткові умови

 

П.У.

К.У. (7.3)

 

де – сталі.

Задача (7.2) – (7.3) нестаціонарна, оскільки шуканий роз-в’язок істотно залежить від початкових умов і описує так званий неусталений перехідний режим фізичного процесу.

Застосуємо перетворення Лапласа до функції за змінною . Вважаємо, що функції , і є оригіналами. Позначивши зображення шуканої функції через , запишемо наступні співвідношення:

 

, , .

 

Тут розглядається як параметр.

Для знаходження зображень частинних похідних по за-стосуємо теорему про диференціювання оригіналу. Одержимо

 

,

.

 

Вважатимемо, що – оригінал, тоді крайові умови у просторі зображень матимуть вигляд

 

(7.4)

де .

Таким чином, вважаючи, що є оригіналом, операційний метод приводить розв’язання поставленої неста-ціонарної задачі (7.2)–(7.3) до розв’язання звичайного дифе-ренціального рівняння другого порядку

 

(7.5)

з крайовими умовами (7.4), де , , , – ком-плексний параметр.

 

Приклад 7.1 Кінці струни і закріплені жорстко. Початкове відхилення задано рівністю , початкова швидкість рівна нулю. Знайти відхилення при .

Задача зводиться до розв’язання диференційного рівняння

 

,

 

яке задовольняє задані додаткові умови

П.У. К.У.

Застосуємо перетворення Лапласа до функції за змінною . Позначивши зображення шуканої функції через , запишемо наступні співвідношення:

 

, , ,

,

 

.

 

Тоді на основі цих співвідношень та сформульованої зада-чі з додатковими умовами, одержимо у просторі зображень наступну задачу

 

, (7.6)

К.У.

 

Розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку шукаємо у вигляді:

 

,

 

де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння .

Характеристичне рівняння . Звідси

.

 

Тоді загальний розв’язок однорідного рівняння буде

 

.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння знайдемо у вигляді .

Для знаходження невідомої сталої підставимо частин-ний розв’язок у (7.6) та отримаємо рівняння

 

.

 

Звідси

.

Тоді

 

Загальний розв’язок рівняння буде мати вигляд:

 

.

 

Підставляючи розв’язок у крайові умови, знайдемо невідомі константи

 

 

Отже, оригіналом для з врахуванням формули оберненого перетворення

 

буде функція

 

,

 

яка є розв’язком поставленої задачі.

 

Приклад 7.2 Знайти розв’язок рівняння теплопровідності , який задовольняє початковим і граничним умовам (), .

 

Задача зводиться до розв’язання диференційного рівняння

 

, яке задовольняє задані додаткові умови

 

П.У. , К.У.

 

Застосуємо перетворення Лапласа до функції за змінною . Позначивши зображення шуканої функції через , запишемо наступні співвідношення:

 

, , ,

 

.

 

Вихідне рівняння після підстановки отриманих формул та крайові умови у просторі зображень набудуть вигляду

,

К.У.

 

Розв’язок отриманого лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку шукатимемо у вигляді:

 

,

 

де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння:

 

,

 

характеристичне рівняння:

.

Звідси

.

Тоді загальний розв’язок однорідного рівняння буде

 

.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння знайдемо у вигляді

.

Для знаходження невідомої сталої підставимо частин-ний розв’язок у (7.6) та отримаємо рівняння

.

 

Звідси

.

Тоді,

.

 

Загальний розв’язок рівняння буде мати вигляд:

 

.

 

Підставляючи розв’язок у крайові умови, знайдемо невідомі константи

 

Отже, оригіналом для з врахуванням формули оберненого перетворення

 

 

буде функція

,

 

яка і буде розв’язком поставленої задачі.

 

Контрольні запитання

7.1 Як використовуються операційні методи при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними?

7.2 Що називається оригіналом та зображенням функції-оригіналу дійсного аргументу ?

7.3 Що називають перетворенням Лапласа функції ? Як позначають відповідність між зображенням і оригіналом?

7.4 Властивості зображень.

7.5 Зображення згортки. Властивість згортки.

7.6 Схема побудови розв’язку диференціального рівняння з частинними похідними.

 

 

Перелік використаних джерел

1. Араманович И.Г. Уравнения математической физики / И.Г. Араманович, В.И. Левин. – М.: Наука, 1964. – 286 с.

2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. – М.: Наука, 1967. – 436 с.

3. Кальницкий Л.А. Специальный курс высшей математики / Л.А. Кальницкий, Д.А. Добротин, В.Ф. Жевержеев. – М.: Высшая школа, 1976. – 389 с.

4. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. – М.: Высшая школа, 1970. – 710 с.

5. Краснов М.Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – М.: Наука, 1971. – 256 с.

6. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям мате-

матической физики / А.Д. Полянин. – М.: физматлит, 2001. – 576 с.

7. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической фи-

зики / М.М. Смирнов. – М.: Наука, 1975. – 126 с.

8. Чинаев П.И. Высшая математика. Специальные главы / П.И. Чинаев, А.А. Черенков, Н.А. Минин, А.Ю. Перевозни-ков. – К.: Вища школа, 1977. – 368 с.