Лекція 7 Елементи операційного числення

 

Застосування операційного числення при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними

 

Ефективним способом розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними є використання операційних методів, зокрема, перетворення Лапласа. Природно сподівати-ся, що застосування цього методу для розв’язання таких рів-нянь приведе до переведення однієї зі змінних у просторі оригіналів до параметра у просторі зображень.

Так, якщо в розглядуваному рівнянні невідомою є функ-ція двох змінних, то застосування операційного методу до однієї зі змінних приведе до звичайного диференціального рівняння зображення відносно другої змінної. Щоб знайти зображення, отримане рівняння можна розв’язувати з використанням теорії диференційних рівнянь або знову застосувати перетворення Лапласа та одержати скінченне зображувальне рівняння щодо другого параметра. Далі застосовуємо обернене перетворення Лапласа один раз у першому випадку та двічі у другому і отримаємо в просторі оригіналів шукану функцію [5].

 

Відомості про операційне числення

Означення 7.1 Оригіналом називається така функція дійсного аргумента , яка задовольняє наступні три умови:

1) – однозначна, неперервна або кусково-неперервна разом зі своїми похідними -го порядку при ;

2) росте не швидше, ніж деяка показникова функ-ція, тобто існують такі сталі додатні числа і , які не залежать від і при яких для всіх ;

3) при .

Означення 7.2 Зображенням функції-оригінала називається функція комплексної змінної , яка визначається інтегралом Лапласа:

. (7.1)

 

Інтеграл Лапласа (7.1) називають перетворенням Лапласа функції . Відповідність між зображенням і оригіналом будемо позначати так: , або .

Іноді використовують таке позначення: , де символ означає перетворення Лапласа.

 

Властивості зображень

Властивість лінійності

Якщо і при цьому, , , то .

Властивість подібності

Якщо – оригінал і , то при також оригінал і .

 

Властивість зміщення

Якщо оригінал , то для довільної сталої має місце відповідність:

Властивість запізнення

Якщо оригінал і , то .

Властивість диференціювання оригінала

Нехай – оригінал, функція неперервна і . Якщо існує похідна , яка є теж оригіналом, то

.

 

Зокрема, якщо , то диференціювання оригіналу зводиться до множення зображення на . Якщо оригінал має похідні до -го порядку, які є оригіналами і неперервна, то

Зокрема, коли , то

.

 

Зауважимо, що ця властивість широко використовується при розв’язуванні лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами та їх систем.