Рівняння Лапласа в циліндричних координатах

 

Нехай – гармонічна в деякій області функція трьох змінних. Тоді для неї рівняння Лапласа має вигляд:

 

(6.43)

 

Введемо у розгляд циліндричні координати які пов’язані з декартовими координатами формулами

 

, (6.44)

 

Звідси зворотній зв’язок:

 

(6.45)

 

Щоб записати рівняння Лапласа в циліндричних корди-натах, знайдемо відповідні частинні похідні функції , використовуючи формули диференціювання складеної функ-ції декількох змінних:

 

 

 

 

 

Враховуючи, що:

 

 

отримаємо:

 

(6.46)

 

Це і є рівняння Лапласа в циліндричних координатах.

Якщо функція U не залежить від z, а лише від x та y, то рівняння Лапласа буде мати вигляд

(6.47)

 

де r та – полярні координати на площині. Знайдене рівнян-

ня є рівнянням Лапласа в полярних координатах.

Приклад 6.3 Знайдемо розв’язок рівняння Лапласа в області D, що обмежена двома колами та якщо значення шуканої функції на колах:

 

К.У.

де та – сталі.

Це може бути, наприклад, задача про стаціонарний розподіл температури у кільці між двома колами, якщо на самих колах температура задана.

Розв’язуємо задачу у полярних координатах. Очевидно, шукана функція не залежить від кута . Тоді рівняння Лапласа набуває простішого вигляду:

 

 

Це звичайне диференціальне рівняння другого порядку, яке допускає пониження порядку. Інтегруючи його, знайдемо

Визначимо та із крайових умов:

 

 

звідси

остаточно отримаємо:

 

Задача діріхле для круга

 

Нехай у площині хоу є круг радіуса R з центром в початку координат. на його колі задана деяка функція де – полярний кут. Треба знайти функцію неперервну у крузі, яка задовольняє всередині круга рівнянню Лапласа [1]. Постановка задачі в полярних координатах має вигляд:

 

, ,

К.У.

Припустимо, що можна розкласти в ряд Фур’є на . Перепишемо рівняння Лапласа, домноживши його на :

 

 

Будемо шукати розв’язок за методом Фур’є, подаючи функцію у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної:

 

(6.48)

 

Підставляючи її в рівняння та враховуючи, що

та отримаємо:

Відокремимо змінні:

 

 

Отже, рівняння Лапласа розпалося на два диференціаль-них рівняння:

 

(І)

. (ІІ)

З рівняння (І) маємо

 

k²+λ=0,

.

Тоді (6.49)

 

Оскільки задана область є кругом, то при збільшенні кута на 2π точка M(r,φ) повернеться у своє початкове положен-ня. Отже, функція Ф(φ) – 2π-періодична, а це означає, що число має бути цілим: або

Тоді отримаємо множину функцій:

 

,

 

Коефіцієнти та залишились невизначеними. Розглянемо рівняння (ІІ):

 

 

Розв’язок цього рівняння будемо шукати у вигляді , де – невідомий параметр. Підставимо цю функ-цію у рівняння:

 

(6.50)

Поділивши на , отримаємо:

 

Зазначимо, що – сторонній корінь, оскільки при функція Отже, Остаточно маємо:

 

(6.51)

 

Завдяки лінійності та однорідності рівняння Лапласа сума частинних розв’язків:

(6.52)

 

буде також розв’язком рівняння Лапласа. Для знаходження коефіцієнтів та використаємо крайову умову:

Це є ряд Фур’є для функції з коефіцієнтами та

які визначаються за формулами Фур’є:

Звідси:

(6.53)

Таким чином, розв’язком задачі Діріхле у крузі радіуса R є функція (6.52) з коефіцієнтами (6.53).

Контрольні запитання

6.1 На яких припущеннях будується виведення рівняння теплопровідності?

6.2 Проаналізувати фізичний зміст величин, що входять у рів-

няння теплопровідності.

6.3 У чому полягає постановка задачі нестаціонарної тепло-

провідності?

6.4 Особливості застосування методу Фур’є до задач теплопровідності.

6.5 Якими диференціальними рівняннями з частинними похід-

ними моделюються стаціонарні процеси?

6.6 Постановка задачі стаціонарної теплопровідності.

6.7 Що характеризує вільний член F(x,t) у рівнянні теплопро-

відності ?

6.8 Які крайові задачі виділяють у залежності від способу за-

дання крайової умови?

6.9 Задача Діріхле для рівняння Лапласа.

6.10 задача Неймана.

6.11 Мішана крайова задача.

6.12 Рівняння Лапласа в полярних та циліндричних координатах.

6.13 Застосування методу Фур’є при розв’язуванні задачі Діріхле для круга.