Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня

 

Враховуючи, що метод Фур’є застосовують при однорід-них крайових умовах, розглянемо задачу про вільні коливан-ня стержня, один кінець якого () жорстко закріплений, а другий () вільний. Ця задача має наступну постановку:

,

П.У. К.У. (5.1)

 

Припустимо, що функції та можна розкласти в ряд Фур’є по синусах кратних дуг на За методом Фур’є ненульові розв’язки хвильового рівняння, які задовольняють однорідні крайові умови (5.1), шукаємо у вигляді . Знайдемо частинні похідні:

 

(5.2)

Після підстановки (5.2) у хвильове рівняння, отримаємо:

(5.3)

 

Враховуючи попередні дослідження, відразу розглянемо випадок, який приводить до коливального процесу, оскільки в інших випадках отримуємо тільки нульові розв’язки. Нехай . Тоді хвильове рівняння розіб’ється на два одно-рідних диференціальних рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами відносно функцій та .

 

(І)

. (ІІ)

 

Розглянемо спочатку перше рівняння і знайдемо функцію

 

.

 

Характеристичне рівняння

 

Отже, (5.4)

 

де А та В – довільні сталі, які будемо шукати із крайових умов (5.1):

 

 

Тут , щоб уникнути тривіального розв’язку задачі. Знайдемо . Тоді крайові умови набувають вигляду:

 

(5.5)

Тут за умовою, , щоб виключити можливість отримання нульового розв’язку. Тоді ,

 

.

 

Звідси визначаємо , як множину чисел :

. (5.6)

Тому коефіцієнт залишився невизначеним.

Тепер розглянемо рівняння (ІІ) і знайдемо функцію

.

 

Характеристичне рівняння

 

Тоді загальний розв’язок з урахуванням того, що буде таким:

(5.7)

 

Запишемо частинний розв’язок поставленої задачі:

 

Введемо позначення: та

Враховуючи позначення, запишемо загальний розв’язок як суму всіх частинних:

(5.8)

 

або в розгорнутому вигляді:

 

(5.9)

Щоб знайти невідомі коефіцієнти та , скористаємося початковими умовами. Але спочатку знайдемо

 

Тепер запишемо початкові умови

 

(5.10)

Фактично ми отримали розклади функцій та в ряди Фур’є по синусах в інтервалі . Тому коефіцієнти розкладів і можна визначити за відповідними формулами Фур’є.

Таким чином, розв’язок задачі про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а другий вільний, має вигляд:

 

де , (5.11)

.

Приклад 5.1 Розв’язати задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а до вільно-го кінця прикладено силу P, причому в момент t =0 дія сили раптово припиняється.

 

Ця задача має наступну постановку:

 

,

Тобто функції , Звідси

Щоб побудувати розв’язок у вигляді (5.8) знайдемо коефіцієнти :

.

 

Тоді розв’язок задачі:

 

.

 

Приклад 5.2 Поставити і розв’язати задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплено, а до вільного кінця раптово у момент часу прикладено розтягуючу силу P.

 

Ця задача має наступну постановку:

 

,

П.У. К.У.

 

Для того, щоб розв’язати задачу з ненульовими крайовими умовами зробимо заміну :

.

 

Отримаємо початкові і крайові умови для функції :

 

Постановка задачі для функції матиме вигляд:

,

П.У. К.У.

Знайшовши за методом Фур’є, відповідь запишемо у вигляді

Контрольні запитання

5.1 У чому полягає постановка для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня?

5.2 У чому полягає суть методу Фур’є для розв’язування задач про поздовжні коливання стержня?

5.3 У чому особливість методу Фур’є стосовно вимог до крайових умов?