Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності

Розглянемо задачу про розповсюдження тепла в нерівно-мірно нагрітому тілі V, обмеженому поверхнею S. У цьому ви-падку виникають теплові потоки від ділянок з вищою темпе-ратурою до ділянок з нижчою. Тобто відбувається перерозпо-діл тепла.

За величину, що характеризує даний процес, візьмемо функцію , яка визначає температуру в будь- якій точці M(x,y,z) у будь-який момент часу t.

При побудові математичної моделі зробимо наступні припущення стосовно фізичних властивостей тіла:

1) тіло – однорідне;

2) ізотропне;

3) у тілі відбувається механічний перенос тепла від більш нагрітих ділянок до менш нагрітих;

4) усе тепло йде на зміну температури тіла;

5) властивості тіла від температури не залежать.

Щоб вивести рівняння теплопровідності достатньо склас-ти рівняння теплового балансу, яке запишемо так:

 

(6.1)

 

Визначимо всі складові цього рівняння.

1) – це кількість тепла, що проходить через поверхню за деякий час ∆t. Для визначення скористаємося експе-риментальним законом Фур’є, згідно з яким елементарна кіль-кість тепла , що проходить через елементарну частину по-верхні у напрямку внутрішньої нормалі до неї за оди-ницю часу, дорівнюватиме де k – коефіцієнт внутрішньої теплопровідності, k>0, розмірність .

Вважаємо, що коефіцієнт k не залежить від напряму нор-малі. Щоб визначити всю кількість тепла, що проходить через поверхню за час ∆t, достатньо вираз, що визначає елементарну кількість тепла , проінтегрувати по цій поверхні і домножити на ∆t:

 

Нехай вектор тоді

 

 

Тоді

 

використовуючи формулу Остроградського по відношенню до вибраного елемента ω з внутрішньою нормаллю до поверхні , маємо

 

.

 

Звідси

 

. (6.2)

 

2) – це кількість тепла, що виділяється (поглинається) джерелами (якщо вони є), розподіленими в об’ємі ω за деяким законом. Позначимо через f(M,t) питому потужність джерела в точці M(x,y,z) у момент часу t (аналог інтенсивності зовнішніх сил в задачах на коливання). Тоді елементарна кількість тепла за одиницю часу буде

Вся кількість тепла за час ∆t:

 

. (6.3)

 

3) – уся кількість тепла, що йде на зміну температури в будь якій точці М за деякий час ∆t, може бути визначена за законом Ньютона [2], згідно якого елементарна кількість тепла прямо пропорційна зміні температури ∆U за час ∆t і масі елементарної частини ρdω та дорівнюватиме де С – питома теплоємність матеріалу тіла, розмірність ; ρ – густина.

 

Звідси . (6.4)

 

враховуючи рівності (6.1) – (6.4), запишемо рівняння теплового балансу

 

 

Або

 

(6.5)

 

Згідно з основною лемою математичної фізики якщо під-інтегральна функція неперервна та інтеграл по довільній області ω дорівнює нулю, то і сама функція також дорівнює нулю. Отже,

.

Поділимо на Cρ∆t і перейдемо до границі при

 

.

Або

де ; .

 

Якщо врахувати, що

 

.

то отримаємо

 

. (6.6)

 

Це тривимірна модель розповсюдження тепла у тілі , або просторове рівняння теплопровідності. тут М – точка M(x,y,z).

Очевидно, що двовимірна модель буде мати вигляд:

 

(6.7)

 

яка описує розповсюдження тепла в дуже тонкій (плоскій) пластині . Тут М – точка M(x,y).

І одновимірна модель:

(6.8)

 

Це рівняння теплопровідності для прямолінійного тонкого стержня (один характерний розмір – довжина). Тут М – точка з однією координатою . Саме з цим рівнянням ми і будемо далі працювати. Зауважимо, що в силу зроблених нами припущень величини сталі. Також вважаємо, що бічна поверхня стержня теплоізольована.

Проаналізуємо рівняння теплопровідності (6.8):

 

; .

 

Тут x – просторова координата, t – час, U (x,t) – температура в точці з координатою х в момент часу t.

Якщо зафіксувати , то отримаємо – закон, за яким змінюється температура в точці , якщо зафіксувати час ,то отримаємо – розподіл температур у стержні в момент часу .

Вільний член F(x,t) характеризує наявність джерел тепла в стержні. Якщо їх нема, то F(x,t)= 0 і рівняння теплопровідності набуває простого вигляду

 

(6.9)