Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа

Стаціонарні процеси моделюються диференціальними рівняннями з частинними похідними еліптичного типу. Це процеси різної фізичної природи: коливання (механічні, зву-кові, електромагнітні); теплопровідність, дифузія тощо. Найпростішим рівнянням такого типу є рівняння

 

(6.35)

 

яке називається рівнянням Пуассона. Функція двічі диференційовна, а функція – задана в деякій просторовій області .

Відповідне однорідне рівняння

 

(6.36)

 

називається рівнянням Лапласа.

Наприклад, таким рівнянням описується стаціонарний розподіл температури у тривимірному тілі. Дійсно, якщо температура не залежить від часу t, то і рівняння теплопровідності зводиться до рівняння Лапласа.

Зауважимо, що у двовимірному випадку рівняння Лапласа (6.36) набуває вигляду: а в одновимір-ному: .

Функцію називають гармонічною в області якщо вона неперервна у ній разом зі своїми похідними першого та другого порядків і задовольняє рівняння Лапласа.

У кожній задачі математичної фізики, пов’язаній з рівнянням Лапласа, шуканий розв’язок виділяється із множи-ни усіх гармонічних функцій за допомогою додаткової умови, якою є крайова умова. Завдяки стаціонарності процесу початкова умова у цих задачах відсутня.

Залежно від способу задання крайової умови виділяють три крайові задачі: задачу Діріхле (першу крайову задачу), за-дачу Неймана (другу крайову задачу) та мішану (третю крайову задачу).

 

Задача Діріхле

 

Ця задача (перша крайова задача) у просторі формулюється так: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні рів-няння Лапласа та набуває у кожній точці М поверхні заданих значень:

 

К.У. (6.37)

 

Очевидним можна вважати той факт, що задача Діріхле завжди має розв’язок. Дійсно, якщо, наприклад, кожна точка на поверхні тіла постійно підтримується при певній заданій температурі (яка може бути різною у різних точках поверхні), то у кожній точці тіла встановиться своя температура, яка і дає розв’язок задачі Діріхле при заданих крайових умовах. Також очевидно, що цей розв’язок буде єдиним.

Аналогічно формулюється задача Діріхле у двовимірному випадку: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої кривої Г рівняння Лапласа та набуває у кожній точці М кривої Г заданих значенень:

 

К.У. (6.38)

 

Зазначимо, що задача Діріхле розв’язується дуже просто в одновимірному випадку, коли розглядається, наприклад, стаціонарний розподіл температури у тонкому стержні довжи-ни l з теплоізольованою бічною поверхнею. Тоді задача Діріхле ставиться так: знайти функцію яка задовольняє рівняння Лапласа для усіх і набуває на кінцях стержня заданих значенень:

 

К.У. (6.39)

 

Задача Діріхле у цьому випадку має розв’язок

 

(6.40)

Задача Неймана

 

задача Неймана (друга крайова задача)формулюється так: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні рівняння Лапласа та її похідна по напрямку зовнішньої нормалі у кожній точці М поверхні набуває заданих значень:

К.У. (6.41)

Нагадуємо, що похідна пов’язана з потоком тепла через поверхню . Аналогічно формулюється задача Неймана для двовимірного та одновимірного випадків.

Мішана задача

Мішана задача (третя крайова задача) формулюється так: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні рівняння Лапласа, а у кожній точці М поверхні виконується умова:

 

К.У. (6.42)

де функції та є заданими. Цю задачу ще назива-

ють задачею з косою похідною.