Постановка задачі теплопровідності

Із фізичних міркувань випливає, що для однозначного визначення температури в стержні довжиною , крім рівняння теплопровідності, необхідно задати додаткові три умови, які складаються з однієї початкової і двох крайових.

Початкова умова для рівняння теплопровідності задає розподіл температур у всіх точках стержня в деякий момент часу, який приймаємо за початковий . Початковий розподіл температур має вигляд:

 

П.У. U(x,0)=u|_t=0 = φ (х), (6.10)

 

де φ(х) – задана функція для всіх .

Крайові умови мають виконуватись там, де стержень може мати теплообмін з навколишнім середовищем, тобто на торцях стержня.

Нехай стержень лежить на осі Ох і один його кінець збігається з початком координат (), а другий має абсцису .

Крайові умови відображають тепловий режим на кінцях стержня і можуть задаватися по-різному. Розглянемо деякі з них. Нехай на кінцях стержня підтримується стала температура – на кінці і на кінці .

К.У. (6.11)

 

де – задані числа (можуть бути і нулі).

Запишемо загальніші граничні умови. використовуючи закон Ньютона, запишемо тепловий потік Р, що проходить через одиницю площі за одиницю часу пропорційно зміні температури на торці стержня:

 

, (6.12)

 

де h – коефіцієнт зовнішньої теплопровідності або коефіцієнт теплообміну, – температура на кінці стержня, – температура навколишнього середовища поблизу цього кінця.

При цьому потік вважається додатним, якщо тобто іде процес охолодження стержня. Отже, функція –спадна. А згідно з законом Фур’є цей самий потік пропорційний швидкості зміни температури в напрямку нормалі до торця:

(6.13)

 

Оскільки вектор нормалі паралельний до осі Ох, то для правого кінця потік буде:

a на лівому:

 

Тепер запишемо умови на лівому і правому кінцях стержня:

Г.У. . (6.14)

Тут , – задані температури навколишнього середовища поблизу відповідних кінців. Оскільки кінці стержня можуть знаходитися в різних середовищах, то сталі взято різними.

Розглянемо окремі випадки:

1) Нехай коефіцієнт теплообміну , тоді крайова умова

К.У. (6.15)

означає, що кінець стержня теплоізольований.

2) Нехай значення коефіцієнт теплообміну дуже вели-ке. Тоді, наприклад, для лівого кінця маємо:

 

, (6.16)

 

і, переходячи до границі при , отримаємо крайову умову

 

К.У. (6.17)

 

що означає вільний теплообмін з навколишнім середовищем на кінці х=0. Фактично, це те саме, що розглядалося в першому типі крайових умов.

3) На кінці стержня, не уточнюючи на якому, задається потік, як функція часу

 

(6.18)

 

Рисунок 6.1 – початковий розподіл температур

Приклад 6.1 Поставити задачу про розповсюдження тепла в стержні, один кінець якого теплоізо-льваний, а на другому підтримується стала тем-пература T, причому в момент часу t= 0 розподіл температур у стержні мав вигляд частини параболи з вершиною в початку координат, як зображено на рисунку 6.1.

 

 

 

Опишемо графік аналітично: . визначаємо коефіцієнт з того, що точка (l, T) задовольняє рівняння параболи. Отже, Тоді рівняння параболи має вигляд

 

Постановка задачі включає в себе написання рівняння теплопровідності, початкової та граничних умов

 

, ,

П.У. К.У.

 

Розв’язком цієї задачі є функція , яка задовольняє в указаній області рівняння теплопровідності, а також початкову і крайові умови.