Метод Фур’є (для розв’язування задачі про вільні поперечні коливання скінченної струни).

Розглянемо струну завдовжки l із закріпленими кінцями. Ця задача має таку постановку:

 

,

П.У. К.У. (4.4)

 

Згідно з методом Фур’є (його ще називають методом відокремлення змінних) розв’язок шукаємо у вигляді:

 

. (4.5)

 

Функція (4.5) має задовольняти хвильове рівняння і початкові та крайові умови. Підставимо її в рівняння. Для цього знайдемо відповідні похідні:

Підкладаючи знайдені вирази у хвильове рівняння, отримаємо:

 

 

Або:

, (I)

. (II)

 

Змінні відокремилися і хвильове рівняння розділилося на два диференціальних рівняння – відносно функцій та . Розглянемо кожне з них.

– це звичайне однорідне диференціа-льне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. У залежності від сталої с тут може бути три випадки:

1) нехай , тоді характеристичне рівняння:

Отже, загальний розв’язок: . Знайдемо довільні сталі А та В із крайових умов, переписавши їх для функції :

Очевидно, що бо інакше . тоді:

 

Для нашої функції маємо:

 

 

Тому для А та В маємо однорідну систему:

 

Знайдемо визначник цієї системи:

Оскільки , то і ця система має єдиний розв’язок: А=0, В=0. Тоді , що призводить до тривіального розв’язку: . Отже, коливань у цьому випадку немає.

2) нехай с =0, тоді для функції маємо рівняння:

Проінтегрувавши його двічі, отримаємо:

Знову довільні сталі А та В будемо шукати із крайових умов:

 

 

і знову маємо та тривіальний розв’язок задачі .

3) нехай , тоді характеристичне рівняння:

 

 

У цьому випадку функція буде мати вигляд:

 

 

Використаємо крайові умови для знаходження довільних сталих А, В та невідомого параметра .

 

 

Зазначаємо, що , щоб уникнути нульового розв’язку.

Останнє рівняння дає можливість визначити :

Отже, є множина значень , які залежатимуть від , тому надалі параметру надамо індекс n: Таким чином, отримаємо множину розв’язків

(4.6)

Тут , оскільки за умовою . Враховуючи, що – довільна стала, то в подальшому ми будемо надавати тільки додатних значень:

Коефіцієнт залишився невизначеним.

Тепер з рівняння (II) знайдемо функцію

. Врахуємо попередні дослідження і відразу візьмемо . Тоді характеристичне рівняння: А загальний розв’язок даного диференціального рівняння буде:

Взявши до уваги, що параметр уже знайдено: , запишемо множину розв’язків:

(4.7)

Тут та – довільні сталі. Підставимо знайдені функції (4.6) та (4.7) у (4.5). Таким чином, кожному значенню n = 1, 2, 3,... будуть відповідати розв’язки:

 

.

 

Внесемо множник у дужки та введемо такі позначення: , Тоді

 

(4.8)

Розв’язки називають власними функціями задачі, а відповідні їм коливання струни – власними (або вільними) коливаннями. Числа називають власними числами.

За допомогою функцій (4.8) побудуємо розв’язок, який би задовольняв початкові умови задачі. Для цього візьмемо суму розв’язків (4.8), яка завдяки лінійності та однорідності хвильового рівняння також буде його розв’язком:

(4.9)

Вважатимемо, що цей ряд збіжний, і його можна почленно диференціювати по аргументу t. Підберемо коефіцієнти та так, щоб функція задовольняла початкові умови:

 

Звідси:

1) – це розклад функції в інтервалі в ряд Фур’є за синусами з коефіцієнтами розкладу . Отже, маємо

 

. (4.10)

 

2) – це розклад функції в інтервалі в ряд Фур’є за синусами з коефіцієнтами розкладу . Отже, , звідси маємо:

(4.11)

 

Таким чином, розв’язок задачі про поперечні коливання скінченної струни з закріпленими кінцями має вигляд:

 

де

(4.12)

 

Приклад 4.2 Розв’язати задачу про поперечні коливання струни довжиною l з закріпленими кінцями, яка в початковий момент часу перебувала в стані спокою і мала таку форму:

 

 

Рисунок 4.1 – Початкова форма струни

 

Постановка задачі буде наступною:

 

,

Згідно з нашою постановкою функції , . Отже, у (4.12) коефіцієнт . Знайдемо коефіцієнт :

 

Нульові члени можна виключити, якщо ввести заміну n =2 m -1, (m =1, 2, 3,...). Тоді