И 7.Независимость аксиом и полнота систем аксиом.

Акс. теория дедуктивно полная.

результат доказуемости аксиом бывает трехвозможен:

1утверждение истинно

2утв недоказуемо

3утв ложно

Полнота<=>категоричность.

акс теория назкатигоричной если все ее модели изоморфны(т.е. если между основными эл-тами этих моделей можно установить взаимооднозн. отнош,при кот. сохраняются основные отнош)

Матем теории:1котегоричные.

2 некотегоричные:2.1топология

2.2 теория групп

Способы исследования:1исходя из системы аксеом

2 любой модели

Акс теория описана конечным списком аксеом

существует много зависимых аксеом.это проверяется с помощью моделей:

1не Аn-отрицание

2(буква сигма штрих по Т):А1...,Аn-1, не Аn

если мы докажем то можем построить след модель:(буква сигма поR=>буква сигма поT,буква сигма поR=>буква сигма поT)

если Аn и не Аn независимы, то буква сигма по r -противоречива, т.к. выполняется Аn и не Аn.

 

 

 

Аксиоматика Вейля

Другое наз. Точечно-векторная аксиоматика.

Структура евклидовой геометрии в аксиоматике Вейля это < >

- пространство точек

- векторное пространство

сложение векторов

умножение векторов

-скалярное произведение

-откладывание векторов

1. Группа: аксиомы векторного пространства

А1:

A2: )+ = +

A3:

A4: :

A5:

A6: k()= (k , k

A7: (k =

A8:

2. Группа: dim v=n

n=1 - прямая

n=2 -плоскость

n=3 –трехмерное пространство

Размерность равномерно и означает, что в существует и линейно-независимых векторов и вектор линейно-независимый

3. Группы скалярного произведения

:

A10:

A11: =

A12: + =

A13: =

4. Группа

A, B –точки

A14: Единственность откладывания вектора

Основное свойство сложения векторов + =

Непротиворечивость аксиоматики Вейля

Непротиворечивость G_w аксиоматики Вейля подходит для метода координат и арифметическая модель G_w основывается на методе координат

Для простоты возьмём планиметрию n=2

IR – теория действ. чисел

U - теория на которой строится модель

E=IR²={(x,y)|x,y ͼ IR}

U=IR²={(a₁a₂)|a₁a₂ ͼ IR}

(+) (a₁a₂)+(b₁b₂)=(a₁+b₁,a₂+b₂)

 

A1: a+b=(a₁,a₂)+(b₁b₂)=(a₁+b₁,a₂+b₂)= (b₁+a₁, b₂+a₂)=(b₁b₂)+ (a₁a₂)

0=(0,0); -a=(-a₁,-a₂)

(.) ka=k(a₁a₂)= (ka₁ka₂)

 

A8: k(a+b)=k[(a₁a₂)+ (b₁b₂)]=k(a₁+b₁,a₂+b₂)=(ka₁+kb₁,ka₂+kb₂)=(ka₁ka₂)+(kb₁kb₂)= k(a₁a₂)+ k(b₁b₂)=ka+kb

Vгр.

L₁=(1,0)

L₂=(0,1)

тогдалюбойвектор a =(a₁,a₂)=a₁(1,0)+a₂(0,1)= a₁L₁+ a₂L₂

k₁L₁+ k₂L₂=0

0=k₁L₁+ k₂L₂= k₁(1,0)+k₂(0,1)= (k₁,0)+(0, k₂)=(k₁ k₂)=(0,0)=0 ó k₁=0 и k₂=0 вбаз.(L₁ L₂)

dim U=1

a=(a₁,a₂)

b=(b₁b₂)

a+b=def= a₁b₁+a₂b₂

aa=((a₁,a₂) (a₁,a₂))=a₁²+ a₂²≥0

a₁²+ a₂²=0 ó a₁=a₂=0

a=(0,0) ч.т.д

A=(x₁y₁) B=(x₂y₂)

G(A,B)=AB=(x₂-x₁,y₂-y₁)

A14:

A=(x₁y₁), a=(a₁,a₂)

Ǝ! B=(x₁+ a₁, y₂+ a₂)

AB=a

C=(x₃y₃)

AB+BC=(x₂-x₁,y₂-y₁)+ (x₃-x₂,y₃-y₂)= (x₂-x₁+ x₃-x₂,y₂-y₁+ y₃-y₂)= (x₃-x₁,y₃-y₁)=AC

Таким образом построена модель G_w Евклидовой плоскости на основе теории IR. Это означает, что аксиомы G_w непротиворечивы, если не противоречива теория IR.