Угол параллельности. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского

1) Пересечение l₁ и l₂

2) Параллельные l₁ и l₂

 

 

3) l₁ и l₂ расходящиеся

 

А

А- угол параллельности в евклидовой геометрии Всегда α=

 

Модель Клейна

III₂. Данное определение неевклидовой геометрии Л₂:

Удобно определять неевклид движения через преобразования (проективные, гиперболические, гомологии).

F(A^|→A) – l-ось гомологии, Р – центр. \

Строим образ.

Р?АА^|, Р?BB^|, ۷A,B Если точка М=АА ∩l, то (РМ,АА´)=1 ↔ f²=id или f=f^-1, f – инволюция.

Гиперболические гомологии f²=id получаются, если l и Р – поляра и полюс относительно овала ξ. ABCD – полный 4-хугольник, вписанный в овал.

A,B,C,D - вершины

P,Q,R’ – диагональные точки

PR=l, (MN,RQ)=-1, (LL’,RQ)=-1

PL=m, PL’=m’ – касательные

PQR – автополярный треугольник, каждая сторона которого, явл полярой противоположной вершины.

Все неевклид движения 1-го рода явл композицией симметрий.

S_l=f

Элементы геометрии Лобачевского в модели Клейна

1. L-поляра Р

f=S_L–неевклид.симметрия

f(А)= А¹

А А¹=m

Полюс m и точка Q L(по т.взаимости проект геометрии)à

g=S_m (неевклидова симметрия)

то g(U)=U^! =V

Cледовательно, <AO₁ Uà<AO₁ V,AO₁ m.Следов. g(О)=О^! , по опр.меры углов, если одни перех. В другой, то неевклид.мера угла <AO₁ U и<AO₁ V равны,(они смежные), их сумма равна 180, тогда получается, что каждый из углов прямой.Следов, mперпендик.L

2. U₁P,V₁P-касательные кси. O₁Р-биссектриса неевклидова.

Если О=О₁, то евклидова и неевклидова биссектрисы совпадут,

И преобразуют один угол в другой и учитывая что касательные

переходят в касательные будет следов., что O₁Р-неевкл.биссектриса.

3. Еслиf=S_L-неевклид.симметрия,

R Càf(R)=R, f(М)= М^! =N

(из св-в полного 4-х верш.И гомологии)

[MR]à[NR].Следов., неевклиддлинны этих отрезков равны,

R-неевклидова середина [MN].

4. Если треуг.АВС в модели Клейна продолжить

Сторону до пересечения с абсолютом и построим

биссектрисы углов А,В, С,тогда из т. Брианшона

следует,чтонеевклид.биссектриссы пересек

в одной точке

5. АР,ВР,СР перпенд.L.тогда все перпендикуляры к L

пересек.в полюсе Р.Следов, все перпенд между собой расх.

6. L¹||L, mперпендик.L, L¹ должна проходить через

Р и Q,т.е. mвключ в PQ(проект прямая). т.к.PQкасат.

к кси, то PQ в пересе с L₂= пустое множество.

Следов., общего перпенд к 2-м параллельным

прямым нет.

7. L¹иL-расход, пересек в точкеР, тогда общий перпенд.m к L¹иL

должен принадлежать RQ.Следов.,онсущ и единств.,m пересек с L₂.

8. 1) если АВ и СD параллельны, то к ним общего перпенд нет.

2) если АВ и СD расход, то общий перпенд к ним только один.Или

АDперпенд. АВ, СД, или ВС перпенд АВ, СД.Следов.,4-ник не

Может быть прямоугольником, т.е. в плоскости Лобачевского

не существует прямоугольников.