Аксиоматика Вейля. Простейшие следствия.

В аксиоматике Вейля два неопределяемых понятия:

 точка – элемент множества Т,

 вектор – элемент множества V,

четыре основных отношения:

 сумма векторов,

 произведение вектора на действительное число,

 скалярное произведение векторов,

 откладывание вектора от точки,

I. Аксиомы сложения векторов

Первая группа аксиом описывает отображение, называемое операцией сложения векторов, позволяющая любым двум векторам и отнести третий вектор – их сумму так, что выполняются аксиомы:

I1: Сложение векторов коммутативно.

I2: Сложение векторов ассоциативно.

I3: Существует нулевой вектор такой, что для справедливо равенство.

I4: Для существует противоположный вектор такой, что [2].

II. Аксиомы умножения вектора на число

Вторая группа аксиом описывает отображение, называемое операцией умножения вектора на число, при этом каждому вектору и числу однозначно отнести вектор, называемый произведением вектора на число, так что выполняются аксиомы:

II1: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению векторов.

II2: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению чисел.

II3: Операция умножения вектора на число ассоциативна.

II4: Операция умножения вектора на единицу не меняет вектора [2].

Теорема 1.5. Произведение любого вектора на число 0 равняется нулевому вектору.

Доказательство. С одной стороны, имеем. С другой стороны, прибавляя почленно к обеим частям полученного равенства вектор, противоположный к вектору, мы получим.

Таким образом,, т.е. ■

Теорема 1.6. Противоположный вектор для вектора равен, т.е..

Теорема 1.7. Произведение вещественного числа на нулевой вектор равняется нулевому вектору, т.е..

Система векторов называется линейно зависимой, если равенство выполняется для некоторых постоянных, причем [2].

III. Аксиомы размерности

III1: Существует три линейно независимых вектора, т.е. если.

III2: Любые четыре вектора линейно зависимы, т.е. если.

Всякая система трех линейно независимых векторов называется базисом данного трехмерного векторного пространства.

Теорема: Всякий вектор векторного пространства можно разложить, и притом единственным образом, по векторам базиса.

Числа x1,x2,x3 называются координатами вектора в базисе [2].

IV. Аксиомы скалярного произведения векторов

Четвертая группа аксиом описывает отображение, называемое операцией скалярного умножения векторов, при этом любым двум векторам и однозначно сопоставляется число, называемое скалярным произведением двух векторов, так что выполняются аксиомы:

IV1: Скалярное произведение векторов коммутативно.

IV2: Скалярное произведение векторов линейно

IV3: и.

Скалярное произведение векторов позволяет определить число называемое скалярным квадратом вектора.

Корень квадратный из этого числа называется длиной вектора и обозначается.

Углом между векторами и называется число φ определяемое равенством

[2].

V. Аксиомы откладывания векторов

Пятая группа аксиом описывает операцию откладывания вектора от точки, при этом любым упорядоченным двум точкам А и В однозначно сопоставляется вектор:, причем точка А называется начальной точкой вектора, а В – конечной. Для операции откладывания вектора от точки выполняются следующие аксиомы:

V1: Для каждой фиксированной точки А и каждого вектора существует единственная точка В такая, что.

V2: Для любых трех точек А, В, С справедливо равенство [5].

Любая математическая система требует аксиоматического обоснования. Например, аксиоматика Гильберта. Примером другого аксиоматического построения геометрии является аксиоматика Вейля. Она также удовлетворяет всем требованиям предъявляемым к системам аксиом.