Интервальные оценки параметров: вероятности (генеральной доли), математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Цель занятия: формирование умения представлять и обрабатывать различными способами статистические данные.

Литература: [1, с.196 ]

Задания.

I.

1. Анализируются объемы ежедневных продаж некоторого товара за 60 дней. Получены следующие данные:

 

 

На базе этих данных:

1.постройте статистический ряд и интервальный статистический ряд;

2.определите размах выборки;

3.постройте эмпирическую функцию распределения и ее график;

4.постройте гистограмму и по ее виду сформулируйте предположение о законе распределения рассматриваемой СВ;

5.постройте полигон частот.

2. Анализируется продолжительность телефонных разговоров с клиентами некоторой справочной телефонной службы. Случайным образом отобраны 60 телефонных разговоров и зафиксированы их длительности в секундах:

 

На базе этих данных:

1.постройте статистический ряд;

2.постройте эмпирическую функцию распределения и ее график;

3.постройте полигон частот;

4.постройте интервальный статистический ряд, включающий 5 подынтервалов;

5. на основе п.4 постройте гистограмму и по ее виду сформулируйте предположение о законе распределения рассматриваемой СВ;

6.постройте интервальный статистический ряд, включающий 7 подынтервалов;

7.на основании результатов пунктов1,4 и 6 вычислите выборочное среднее рассматриваемой СВ и сравните результаты вычислений.

3.Цена некоторого товара в двадцати магазинах была следующей:

 

На базе этих данных:

1.постройте статистический ряд;

2.постройте полигон относительных частот;

3.постройте эмпирическую функцию распределения и ее график;

4.постройте интервальный статистический ряд;

5.постройте гистограмму и по ее виду сформулируйте предположение о законе распределения рассматриваемой СВ;

4. По имеющейся эмпирической функции распределения постройте статистический ряд и полигон частот при условии, что объем выборки составляет 100 данных.

5. Проведено исследование посещаемости популярного интернет-сайта. В течение многих часов регистрируется число посетивших сайт в течение данного часа. Результаты исследования представлены в таблице.

Число посетителей
Количество часов
Число посетителей
Количество часов

Постройте гистограмму и график накопленных частот.

II .

Материалы таблицы предложены студентам для анализа на семинаре с последующим обсуждением.

Основные числовые характеристики СВ Х: 1.Выборочное среднее: 2.Выборочная дисперсия (смещенная или неисправленная оценка) 3.Выборочное среднее квадратическое отклонение: 4.Несмещенная или исправленная оценка выборочной дисперсии . 5.Другие формулы для и , облегчающие обработку статистического материала: , , где а – некоторое, умело подобранное число.

6. Для выборочных данных 1 и 2 (Семинар 1) вычислите выборочное среднее и несмещенную дисперсию.

7. Анализируется прибыль (Х) фирм в некоторой отрасли. Имеющиеся статистические данные по 100 фирмам представлены следующим интервальным статистическим рядом:

1.оцените величину ожидаемой (средней) прибыли в отрасли;

2.оцените величину относительного разброса прибылей в данной отрасли.

8. Найдите выборочное среднее по выборке объема n=20. Для упрощения расчетов перейдите к условным вариантам .

				2650

* В качестве числа, которое вычитается при переходе к условным вариантам (условный нуль), обычно выбирается варианта, стоящая в середине ряда, или та, для которой частота максимальна (выборочная мода). Как видно, в данной задаче они совпадают.

9. При выборке объема n=50 найдена смещенная оценка теоретической дисперсии. Найдите несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

10. В таблице представлены результаты наблюдений случайной величины ξ. Найдите выборочное среднее , исправленную выборочную дисперсию , среднее квадратическое отклонение s.

А) ξ- число сделок на фондовой бирже за квартал, n=400 (инвесторов):

 

Б)) ξ- месячный доход жителя региона (в руб), n=1000 (жителей):

	Менее 500	500-1000	1000-1500	1500-2000	2000-2500	Свыше 2500

*Используйте в качестве верхней границы последнего интервала 3000.

11.Для изучения распределения зарплаты работников определенной отрасли обследовано 100 человек. Результаты представлены в таблице.

Зарплата (в у. е.)	190-192	192-194	194-196	196-198	198-200	200-202	202-204	204-206	206-208	208-210
Число человек

Найдите несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии зарплаты.

 

Семинар №8. Тема 4. Проверка статистических гипотез

Проверка гипотез о равенстве параметров генеральной совокупности (доли, средней и дисперсии) заданным значениям (стандартам). Проверка гипотезы о равенстве вероятностей (генеральных долей). Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух и нескольких нормально распределенных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей.

Цель занятия: формирование умения проверять статистические гипотезы при решении экономических задач.

Литература: [1, с.252]

Материалы таблицы предложены студентам для анализа на семинаре с последующим обсуждением.

Проверка гипотез для одной выборки. Критерии проверки гипотез можно представить в виде таблицы. Отметим, что первые три типа гипотез проверяются для нормальных данных. Предположения Статистика критерия Область принятия n порядка нескольких десятков или сот, Рассмотрите пример 1. По выборке объема , извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены: выборочное среднее, равное 12,4 и исправленное среднее квадратическое отклонение, равное 1,2. Проверьте при уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу : при конкурирующей гипотезе : . Решение. Так известны и при неизвестном , выбираем для проверки гипотезы -статистику. Находим фактическое значение - статистики: = . Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид : , то искомая критическая область двусторонняя. Из таблицы критических точек распределения Стьюдента находим по уровню значимости и числу степеней свободы n-1=15 критическую точку . Так как , то нулевая гипотеза принимается с вероятностью 95%. Ответ. С вероятностью 95% можно утверждать, что среднее по генеральной совокупности равно 11,8.

Задания.

1. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема , и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия . Требуется на уровне значимости 0, 05 проверить нулевую гипотезу : =0,18, приняв в качестве конкурирующей гипотезы : .

2. Независимому статистику поручено проверить информацию маркетинговой службы некоторого туристического бюро о том, что 70% клиетов выбирают в качестве формы обслуживания полупансион. Статистик провел опрос 150 случайно выбранных туристов, из них полупансион предпочли 84 человека. К какому выводу пришел статистик, при проверке гипотезы : , при конкурирующей гипотезе : на уровне значимости критерия .

3. По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота . На уровне значимости 0,05 проверить : при конкурирующей : .

4. Статистику необходимо проверить экспертную оценку о том, что 75% отечественных предприятий уклоняются (частично) от уплаты налогов. По результатам неофициального опроса руководителей предприятий 140 из 200 случайно отобранных директоров подтвердили, что используют различные схемы для ухода от уплаты налогов. Можно ли при уровне значимости 0,05 согласиться с приведенной экспертной оценкой?

5. Фирма разослала 1000 новых рекламных каталогов и получила 120 заказов. Можно ли утверждать (на уровне значимости 5%), что эффективность рекламы повысилась, если ранее она составляла в среднем 10%?

6. Средний доход фирмы в день составлял 1020 единиц. После реорганизации выборочный средний доход в день за 30 рабочих дней составлял 1070 единиц с выборочным средним квадратическим отклонением (исправленным) 90 единиц. Можно ли утверждать (на уровне значимости 5%), что реорганизации привела к увеличению среднего дохода?

7. Средний дневной объем продаж в магазине составлял 500 единиц. После реорганизации выборочный средний дневной объем продаж за 25 рабочих дней составил 520 единиц с выборочным средним квадратическим отклонением (исправленным) 40 единиц. Можно ли утверждать (на уровне значимости 10%), что реорганизация привела к увеличению среднего дохода?

8. Инвестор считает вложения в активы с дисперсией доходности более 0,04 слишком рискованными. За последние 10 лет выборочная дисперсия (исправленная) доходности актива А составила 0,06. Следует ли делать вложения в актив А, принимая решение на уровне значимости 5%?

9. Среднее время сборки изделия – 90 мин. Инженер изобрел новый метод сборки этого изделия, в результате время сборки составило 79; 74; 112; 95; 83; 96; 77; 84; 70; 90 мин. Можно ли утверждать, что среднее время сборки сократилось на уровне значимости 5%?

10. В селе Сидорово проведено выборочное обследование доходов жителей. По выборке из 16 человек получено среднее 2620 руб. и среднее квадратическое отклонение 150 руб. Можно ли утверждать на уровне значимости 10%, что средний доход жителей составляет более 2500 руб.?

11. В селе Петрово проведено выборочное обследование доходов жителей. По выборке из 25 человек получено среднее 2380 руб. и среднее квадратическое отклонение 90 руб. Можно ли утверждать на уровне значимости 5%, что средний доход жителей составляет менее 2500 руб.?

12. В книжном магазине проведено исследование продаж фантастического романа писателя Бурьяненко «Танцы на Луне». В течение 25 рабочих дней роман продавался ежедневно в среднем по 64 экземпляра со средним квадратическим отклонением 10 экземпляров. Можно ли утверждать на уровне значимости 5%, что этот роман расходится хуже, чем предыдущий роман автора «Звездная пыль», если тот расходился в среднем по 70 экземпляров в день?

13. При измерении веса 20 шоколадных батончиков (с номинальным весом 50 г) получены следующие значения (в г): 49,1; 50,0; 49,7; 50,5; 48,1; 50,3; 49,7; 51,6; 49,8; 50,1;

49,7; 48,8; 51,4; 49,1; 49,6; 50,9; 48,5; 52,0; 50,7; 50,6.

Согласуются ли полученные данные с номиналом (на уровне значимости 10%)?

14. Рафинированный сахар упаковывается в пакеты с номинальным весом 1,0 кг со средним квадратическим отклонением, равным 0,01 кг. Случайная выборка n =16 пакетов готовой продукции выявила средний вес 1,01 кг. При 5%-ном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о том, что средний вес пакета соответствует номиналу.

 

Семинар №9. Тема 6. Регрессионный анализ (двумерная модель).

Предпосылки регрессионного анализа. Модель регрессионного анализа. Оценка генеральных коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов. Оценка дисперсии выборочных коэффициентов уравнения регрессии. Уравнение регрессии для двумерного нормального закона распределения

Цель занятия: формирование умения получать на основе статистических данных уравнение регрессии для двумерного нормального закона распределения.

Литература: [1, с.254-267].

Задания.

1. В таблице представлены затраты на развитие производства и у – величина годовой прибыли фирмы в течение 5 лет (в условных единицах).

у

На величину прибыли влияют случайные факторы. Предполагается, что имеет место линейная зависимость между затратами и прибылью у. Среднее значение равно 0 и дисперсия конечна. Каждый год случайное влияние не коррелированно с предыдущими годами. Оцените параметры регрессии. Оцените годовую прибыль в случае, если на развитие производства будет затрачено 12 у.е.

2. Постройте линейную модель регрессии по опытным данным. Оцените значимость уравнения регрессии в целом, если х –цена на товар (усл.ед.) и у – уровень продаж (тыс.ед.).

	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0
у

3. Выполните следующие тесты.

1). Дисперсионный анализ уравнения парной регрессии проверяет:

Варианты ответов:

1. значимость коэффициента корреляции;

2. значимость уравнения регрессии;

3. значимость коэффициента регрессии;

4. значимость свободного члена уравнения регрессии.

 

2).Уравнение регрессии имеет вид . На сколько единиц своего измерения в среднем изменится y при увеличении x на одну единицу своего измерения?

Варианты ответов:

1. увеличится на 2,02;

2. увеличится на 0,78;

3.увеличится на 2,80;

4. не изменится.

3). Чему равен коэффициент эластичности, если уравнение регрессии имеет вид ,а , .

Варианты ответов:

1. 0,94; 2. 1,68; 3. 0,65; 4. 2,42

4. В таблице представлены данные о производстве всех зерновых культур и производстве пшеницы в России за 1998-2002 г.г.

 

Год
Производство зерновых, млн т	47,9	54,7	65,5	85,2	86,6
Производство пшеницы, млн т	27,0	31,0	34,5	47,0	57,7

Рассчитайте линейную регрессию и выполните прогнозы на 2003 г. для: а) производства зерновых по годам; б) производства пшеницы по годам.

5. Пользуясь условием задачи 4 проведите линейную регрессию производства пшеницы по производству всех зерновых культур в виде: а) б)