Кафедра высшей математики и физики

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Вологодская государственная молочнохозяйственная
академия имени Н.В. Верещагина»

 

Кафедра высшей математики и физики

 

МАТЕМАТИКА

 

методические указания и контрольные задания

для студентов бакалавриата направлений подготовки

35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, 36.03.02 Зоотехния

(заочная и очно-заочная формы обучения)

 

Вологда–Молочное

УДК 51 (071)

ББК 22.1 р30

М341

Разработали:

 

Д.ф.-м.н., заведующийкафедрой высшей математики и физики М.Г. Плотников,

к.э.н., доценткафедры высшей математики и физики В.Ю. Ивановская.

 

Рецензенты:

 

к.ф.-м.н, доцент кафедры высшей математики и физики Плотникова Ю.А.,

к.с.-х.н, доцент кафедры земледелия и агрохимии Хамитова С.М.

 

 

 

М341 Математика: Методические указания и контрольные задания для студентов бакалавриата направлений подготовки 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, 36.03.02 Зоотехния (заочной и очно-заочной форм обучения) / Составили д.ф.-м.н., заведующийкафедрой высшей математики и физики М.Г. Плотников,к.э.н., доценткафедры высшей математики и физики В.Ю. Ивановская. – Вологда–Молочное: ИЦ ВГМХА, 2014. – 22 с., 3 прил.

 

Составлено в соответствии с требованиями (федеральный компонент) к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки бакалавра и дипломированного специалиста по математическому и естественнонаучному циклу с целью оказания помощи при написании контрольной работы студентами заочной и очно-заочной формы обучения.

Предназначено для студентов заочной и очно-заочной формы обучения (бакалавриат направлений подготовки 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, 36.03.02 Зоотехния.

 

Публикуется в соответствии с планом издательской деятельности на 2014 год, утверждённым решением Ученого совета ____2014 года, протокол №__.

 

УДК 51 (071)

ББК 22.1 р30

 

 

ãПлотников М.Г., 2014

ãИвановская В.Ю., 2014

 

ã ИЦ ВГМХА, 2014

Общие методические указания

В соответствии с учебным планом студенты-заочники выполняют по курсу высшей математики одну контрольную работу. При выполнении работы студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1. Контрольную работу нужно выполнять в тетради, на внешней обложке которой указывается фамилия, имя, отчество, учебный шифр, дисциплина, курс, факультет, специальность. В работе следует оставлять поля для замечаний преподавателя.
2. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Рекомендуется делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теории, выводов, используемых при решении.
3. Все вычисления должны быть приведены полностью, чертежи и графики аккуратно выполнены с указанием единиц масштаба, координатных осей, обозначения к задачам должны соответствовать указаниям на чертеже.
4. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Номера задач, соответствующие каждому варианту приведены в следующей таблице.

 

Номер варианта (последняя цифра шифра)	Номера контрольных заданий
	1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81
	2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82
	3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83
	4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84
	5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85
	6, 16,26, 36, 46, 56, 66, 76, 86
	7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87
	8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88
	9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89
	10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

 

Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы и может воспользоваться решением типичных задач, содержащихся в методических указаниях.

 

Рекомендуемая литература

 

1. Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для вузов. М.: ООО «Издательство Астрель», 2001.
2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов. Изд. 13-е, стереотип. СПб. [и др.]: «Лань», 2006.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Оникс. 2006.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. Учебное пособие для втузов. Издание стереотип. М.: «Интеграл Пресс», 2001.
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник для вузов. 8-е изд., стереотипное. М.: Высшая школа, 2002.
6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Физматлит, 2005.
7. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики: Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1989.
8. Высшая математика: Программа, методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания / Всесоюзн.с.-х. ин-т заоч. образования: сост. В.Г. Раскин, С.О. Стрыгина, С.Н. Дементьева. М.: 1991.

 

Тема І. Введение в анализ

 

, гл. VІ, §§ 1–9; гл. VІІ, §§; гл. VІІІ, §§ 1–6;

, гл. І, §§ 1–9; гл. ІІ;

[6], задачи 676, 679, 682, 686, 961, 737, 747, 748, 753, 763, 771, 772.

 

1–10. Задачи контрольной работы. Вычислить указанные пределы.

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

 

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)

 

Решение типовых задач

 

Задача. Найти следующие пределы:

а) б)

 

Решение. а) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённому выражению вида . При числитель и знаменатель дроби — бесконечно малые величины. Чтобы раскрыть такого вида неопределенность, необходимо предварительно дробь преобразовать. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби и сократим их на :

.

 

Заметим, что аргумент только стремится к своему предельному значению 2, но не совпадает с ним. Следовательно, разность, т.е. множитель, на который мы сокращаем, отличен от нуля при .

б) при получаем неопределённое выражение . Чтобы найти предел дробно-рациональной функции при , необходимо предварительно числитель и знаменатель дроби разделить на , где – наивысшая из степеней многочленов и . Разделим числитель и знаменатель данной дроби на и применим основные теоремы о пределах, свойства бесконечно малых величин:

 

Таблица производных

(1) , где с – произвольная постоянная.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7) a – любое действительное число,

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

 

11-20. Задачи контрольной работы. Найти производные заданных функций:

 

11. а) б) в)

12. а) б) в)

13. а) б) в)

14. а) б) в)

15. а) б) в)

16. а) б) в)

17. а) б) в)

 

18. а) б) в)

19. а) б) в)

20. а) б) в) .

Решение типовых задач

Задача. Найти производные заданных функций:

а) б) в)

 

Решение. а) Вводя дробные и отрицательные показатели, будем иметь Применяя правило дифференцирования суммы (формула (2) Таблицы производных), формулу дифференцирования степенной функции (7) Таблицы производных и формулу дифференцирования постоянной (5) Таблицы производных, получаем:

б) Применяя правило дифференцирования дроби (формула (4) Таблицы производных), получим

.

При этом по формуле (7) Таблицы производных

,

а по формуле (13) Таблицы производных

.

Отсюда:

 

в) Под знаком производной имеем сложную функцию вида , где — промежуточный аргумент. Используя формулу (7), получим:

.

Далее, применяя формулы (1), (12) Таблицы производных найдем

Тогда

 

21-30. Задачи контрольной работы. Исследовать данную функцию и построить её график. Исследование предусматривает нахождение точек экстремума и интервалов возрастания и убывания функции, нахождение точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости графика.

 

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30. .

 

Решение типовой задачи

Задача. Исследовать функцию на экстремум и определить интервалы её возрастания и убывания. Найти точки перегиба графика этой функции и определить интервалы его выпуклости и вогнутости. Построить график данной функции.

 

Решение. Исследуем данную функцию на экстремум с помощью производной. Определим критические точки. Для этого находим первую производную данной функции и приравниваем её к нулю:

Решая последнее уравнение, находим его корни и Таким образом, и — критические значения аргумента. Так как производная существует при любом значении , то других критических точек не имеется.

Исследуем критическую точку . Определим знак первой производной левее и правее этой точки в достаточно малой её окрестности. Производную можно представить в виде произведения двух сомножителей:

. (*)

Из равенства (*) видно, что при производная положительная, а при производная отрицательна. Следовательно, в интервале функция возрастает, а в интервале - убывает. Так как производная при переходе через критическую точку меняет свой знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.

Теперь исследуем критическую точку . Из равенства (*) видно, что при производная положительна. Следовательно, в интервале функция возрастает. Так как производная при переходе через критическую точку меняет свой знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум.

Вычислим значение функции в точках экстремума:

точки максимума и минимума отмечены на рисунке, где показан график исследуемой функции.

Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого находим вторую производную , приравниваем её к нулю и находим действительные корни уравнения :

.

Отсюда критическая точка второго рода. Запишем вторую производную в виде:

. (**)

Из правой части равенства (**) следует, что при вторая производная отрицательна, а при положительна. Следовательно, в интервале график функции является выпуклым, а в интервале — вогнутым.

Как видно, вторая производная при переходе через точку меняет свой знак. Следовательно, есть абсцисса точки перегиба. Вычислим ординату этой точки:

.

Таким образом, – точка перегиба графика функции.

Рис. 2

 

Таблица основных неопределенных интегралов

 

(18)

(19) и т.д.

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

 

(29)

(30) , где А — любое действительное число.

 

31-40. Задачи контрольной работы. Найти указанные неопределённые интегралы.

 

41. а) б) в)

42. а) б) в)

43. а) б) в)

44. а) б) в)

45. а) б) в)

46. а) б) в)

47. а) б) в)

48. а) б) в)

49. а) б) в)

50. а) б) в)

Решение типовых задач

Задача. Найти неопределенные интегралы:

а) б) в)

 

Решение. а) Предварительно преобразуем подынтегральную функцию и затем применим свойства неопределённого интеграла и формулу (20) Таблицы интегралов:

=

=

=

 

б) воспользуемся подстановкой , тогда , откуда . Таким образом,

= .

При вычислении неопределённого интеграла, полученного в результате замены переменной, мы пользовались формулой (21) Таблицы интегралов.

 

в) В неопределённом интеграле выполним замену , чтобы привести его к табличному виду. Тогда . Получим:

При вычислении неопределённого интеграла была использована формула (20) Таблицы интегралов.

 

41-50. Задачи контрольной работы. Вычислить с помощью определённого интеграла площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Сделать чертеж и заштриховать искомую фигуру.

 

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

 

Решение типовой задачи

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

 

Решение. Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой , снизу — непрерывной кривой , слева — прямой , справа — прямой , вычисляется по формуле:

. (***)

Найдем точки пересечения заданных параболы и прямой. Составим и решим систему их уравнений:

.

Подставив в первое уравнение системы вместо у сумму х + 3, получим:

, , ,

, .

Отсюда, Тогда Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках и .

Из формулы (***) следует, что площадь фигуры равна

= =

=

 

Следовательно, искомая площадь равна 1,5 кв. ед. Рассмотренная фигура изображена на рисунке.

 

Рис. 3

Решение типовой задачи

 

Задача. Найти значение биомассы в момент Т=12, если в начальной момент (при t=0) значение биомассы и

 

Решение. Составим дифференциальное уравнение, описывающее динамику развития популяции. Скорость изменения биомассы характеризуется производной (при — это скорость развития, при — скорость вымирания). По условию задачи или

Это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные m и t:

Отсюда после почленного интегрирования получаем:

, т.е. .

(в данном случае произвольную постоянную удобно взять в виде . Из последнего равенства следует формула для общего решения дифференциального уравнения:

.

Для определения значения произвольной постоянной С полагаем В результате получаем:

Таким образом, из общего решения дифференциального уравнения приходим к выражению

Положим теперь в этом равенстве Тогда

Следовательно, в момент (ед.) значение биомассы будет составлять 50 (ед.).

Задачи контрольной работы

 

61. В зоологическом саду имеются 10 розовых пеликанов. Из них 4 самки. Найти вероятность того, что наудачу будет выбран самец?

62. В окно влетело 5 мух, а в двери 3 мухи. Какова вероятность того, что первая попавшаяся муха оказалась влетевшей через окно?

63. В корзине 12 плодов. Из них 4 груши. Найти вероятность того, что первый взятый плод окажется грушей?

64. В стаде пасется 40 овец, причем 30 из них — романовской породы. Найти вероятность того, что наудачу выбранная овца окажется не романовской породы?

65. В магазине было куплено 100 яиц. Четыре из них оказались треснутыми. Какова вероятность того, что наудачу взятое яйцо окажется целым?

66. В ящике 10 гусиных и 15 утиных яиц. Найти вероятность того, что первое взятое яйцо окажется утиным?

67. В табуне 20 лошадей, из них 12 вороных и 8 белых. Найти вероятность того, что наудачу взятая лошадь окажется белой масти?

68. У кошки родились 5 котят, причем 3 белых, а 2 черных. Найти

вероятность того, что наудачу взятый котенок окажется черным?

69. В стае 30 голубей, из них 5 породы турман. Какова вероятность того, что первый наудачу взятый голубь не окажется породы турман?

70. В табуне пасется 55 лошадей. Из них 15 лошадей арабской породы. Наудачу выбирают одну лошадь. Найти вероятность того, что она окажется арабской породы?

Решение типовой задачи

Задача. В стаде из 70 телят заболели 3 теленка. Какова вероятность того, что наудачу взятый теленок окажется здоровым?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что случайно выбранный теленок здоров. Случайный отбор подразумевает, что все исходы события А равновозможные. Всего исходов , исходов, благоприятствующих событию А, . Следовательно, искомая вероятность Р (А) =

71-80. Задачи контрольной работы. Задан закон распределения случайной величины в виде таблицы; в первой строке таблицы указаны возможные значения случайной величины Х, во второй – соответствующие вероятности. Вычислить: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.

 

71.

	0,2	0,1	0,3	0,3	0,1

72.

	0,1	0,1	0,6	0,1	0,1

 

73.

	0,2	0,3	0,2	0,1	0,2

 

74.

	0,1	0,3	0,4	0,1	0,1

 

75.

	0,2	0,3	0,3	0,1	0,1

 

76.

	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

77.

	0,1	0,1	0,3	0,3	0,2

 

78.

	0,2	0,2	0,3	0,2	0,1

 

79.

	–5	–1
	0,2	0,4	0,2	0,1	0,1

 

80.

	–10
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Решение типовой задачи

Задача. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х.

 

	–1
	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

 

Вычислить: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию;
3) среднее квадратическое отклонение.

Решение. 1) математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

Подставляем данные задачи в формулу, получаем

= .

 

2) дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

.

Подставляем сюда данные , получаем:

+

35,378+3,669+0,196+11,858+21,609=73,01.

 

3) среднее квадратическое отклонение находится по формуле:

 

 

Содержание

 

Общие методические указания...................................................................... 3

Рекомендуемая литература........................................................................... 4

Тема І. Введение в анализ.............................................................................. 4

Тема II. Дифференциальное исчисление........................................................ 6

Тема ІII. Элементы интегрального исчисления........................................... 12

Тема IV. Дифференциальные уравнения.................................................... 17

Тема V. Основы теории вероятностей......................................................... 18

Тема VI. Основы математической статистики.…...…………………………..22

Содержание ….......................................................................................................22

 

 

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Вологодская государственная молочнохозяйственная
академия имени Н.В. Верещагина»

 

Кафедра высшей математики и физики

 

МАТЕМАТИКА

 

методические указания и контрольные задания

для студентов бакалавриата направлений подготовки

35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, 36.03.02 Зоотехния

(заочная и очно-заочная формы обучения)

 

Вологда–Молочное

УДК 51 (071)

ББК 22.1 р30

М341

Разработали:

 

Д.ф.-м.н., заведующийкафедрой высшей математики и физики М.Г. Плотников,

к.э.н., доценткафедры высшей математики и физики В.Ю. Ивановская.

 

Рецензенты:

 

к.ф.-м.н, доцент кафедры высшей математики и физики Плотникова Ю.А.,

к.с.-х.н, доцент кафедры земледелия и агрохимии Хамитова С.М.

 

 

 

М341 Математика: Методические указания и контрольные задания для студентов бакалавриата направлений подготовки 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, 36.03.02 Зоотехния (заочной и очно-заочной форм обучения) / Составили д.ф.-м.н., заведующийкафедрой высшей математики и физики М.Г. Плотников,к.э.н., доценткафедры высшей математики и физики В.Ю. Ивановская. – Вологда–Молочное: ИЦ ВГМХА, 2014. – 22 с., 3 прил.

 

Составлено в соответствии с требованиями (федеральный компонент) к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки бакалавра и дипломированного специалиста по математическому и естественнонаучному циклу с целью оказания помощи при написании контрольной работы студентами заочной и очно-заочной формы обучения.

П