Кафедра физики и высшей математики

Кафедра физики и высшей математики

Физ.мат-16.03.0604.зчн.плн

Физ.мат-16.03.0605.зчн.плн

Физ.мат-16.03.0606.зчн.плн

Физ.мат-16.03.0608.зчн.плн

Физ.мат-16.03.0611.зчн.плн

Физ.мат-16.03.3510.зчн.плн

Физ.мат-16.03.3513.зчн.плн

Высшая математика

Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения

 

Часть 1

 

Москва 2005

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Стр.

 

1. Предисловие……………………………………………………

2. Рабочая программа курса «Математика» для студентов

экономических специальностей

высших учебных заведений………………………………...……

3. Учебная литература ………………………………………..….

4. Методические указания к решению задач ……………….…..

5. Задачи для контрольных работ …………………………….…

5.1. Раздел I. Линейная алгебра.

Аналитическая геометрия ……………………………….

5.2. Раздел II. Дифференциальное и

интегральное исчисление.

Дифференциальные уравнения. Ряды …………………..

6. Таблица распределения задач по вариантам

и контрольным работам …………………………………….…

7. Правила выполнения и оформления контрольных работ …..

 

 

Предисловие

Математика – это наука о пространственных формах и количественных отношениях в самом общем виде, - прошла большой путь развития одновременно с развитием цивилизации и стала неотъемлемой частью культуры человечества и показателем интеллектуального уровня общества. Помимо собственных потребностей развития математика обслуживает потребности многих других наук – естественных, технических, экономических, гуманитарных. С развитием вычислительной техники область использования математики расширяется. В наше время трудно представить себе хорошего специалиста в области экономики, не знающего основных математических методов и математического языка. Поэтому математика включена в учебные планы всех экономических специальностей и ее изучению отводится немало времени.

Для успешного изучения математики необходимы программа, учебники и учебные пособия, справочная литература, таблицы, инженерный микрокалькулятор и, конечно, волевые усилия. Необходимо посещать все очные занятия в период сессий и стремиться самостоятельно, выполнять контрольные работы, пользуясь руководствами к решению задач, методическими указаниями и конспектами практических занятий.

Предлагаемые «Методические указания» должны помочь студенту-заочнику рационально организовать свой труд по изучению математики и выполнению контрольных работ. Они выйдут в двух частях. Часть 1 предназначена для выполнения контрольной работы № 1, часть 2 – для контрольной работы № 2.

Обратите пристальное внимание, на таблицу распределения задач по вариантам и в соответствии с ней выполняйте работы.

Желаем Вам успеха.

 

Авторы

 

 

2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

І. Элементы линейной алгебры.

1. Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами, свойства матриц. Обратная матрица. Определители, их свойства. Вычисление определителей.

2. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса, правило Крамера. Ранг матрицы, теорема Кронекера - Капелли. Квадратичные формы.

3. Понятие о задаче линейного программирования и симплекс – методе.

ІІ. Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия плоскости.

1. Системы координат на плоскости. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис, координаты вектора в данном базисе. Скалярное произведение векторов. Уравнения прямых на плоскости. Кривые второго порядка.

ІІІ. Математический анализ.

1. Функции, пределы, бесконечно малые и бесконечно большие.

2. Производная и дифференциал. Приложение к исследованию функций. Правило Лопиталя.

3. Функции нескольких переменных. Частные производные, полный дифференциал. Экстремумы функции нескольких переменных.

4. Неопределенный интеграл. Интегрирование методом подстановки, интегрирование по частям. Интегрирование тригонометрических функций. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственный с бесконечными пределами.

ІV. Ряды.

1. Числовые ряды. Необходимый и достаточные признаки сходимости. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

2. Ряд Тейлора. Разложение функции в степенной ряд. Понятие о тригонометрических рядах.

 

V. Дифференциальные уравнения.

1. Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

2. Однородные и линейные уравнения первого порядка.

VI. Элементы комбинаторного анализа.

1. Перестановки, размещение и сочетания.

2. Методы подсчета числа объектов и конфигураций.

VII. Теория вероятностей.

1. Классическое определение вероятности.

2. Алгебра событий.

3. Формула полной вероятности и Байеса.

4. Повторение испытаний. Схема Бернулли, теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.

5. Случайные величины (дискретные и непрерывные). Законы распределения: равномерное, нормальное. Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

6. Центральная предельная теорема.

VIII. Математическая статистика.

1. Выборочный метод. Репрезентативность выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

2. Выборочное среднее и дисперсия.

3. Интервальные оценки. Правило трех сигм.

4. Проверка статистических гипотез. Сравнение математических ожиданий двух распределений. Однофакторный дисперсионный анализ.

5. Проверка репрезентативности выборки. Критерий согласия Х² («хи-квадрат»).

6. Элементы теории корреляции. Коэффициент линейной корреляции. Криволинейная множественная корреляция.

7. Дискретная математика. Элементы теории графов (транспортная задача). Элементы комбинаторного анализа и блок–схемы (план эксперимента).

 

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА

а) Основная.

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М., Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФПК. – М., Наука, 1985.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М., Наука, 1988.

4. Высшая математика для экономистов. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.

изд. 2-ое. – М., Банки и биржи, 1998.

5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики.- М., 1985.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М., Наука, 1982.

7. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. Ч.1, - М., Финансы и статистика, 1998.

 

б) Дополнительная

1. Баврин И.И. Курс высшей математики. Учебник. – М., Просвещение, 1992.

2. Беклемишева Л.А., Петрович Ю.А., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М., Наука, 1987.

3. Бутузов В.Ф. др. Математический анализ в вопросах и задачах. – М., Высшая школа, 1993.

4. Краснов М.Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Высшая школа, 1983.

5. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. - М., Высшая школа, 1991 (уч. пособие).

6. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. - М., Наука, 1984.

7. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений, 2-ое изд., - М., Наука 1994.

8. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. - М., Наука,1993.

 

в) Устанавливаемая кафедрой (приводится литература, имеющаяся в библиотеке МГТА)

1. Карасев А.И., Аксютина З.И., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. - М., Высшая школа (ВШ) 1982, ч.1; 1983, ч.2.

2. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. - М., ВШ, 1972.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М., ВШ, 1975, 1985.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. т. 1-3, - М., Наука, 1985.

5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М., Наука,1972.

6. Кузнецов Ю.Н., Кутузов В.И., Волошенко А.В. Математическое программирование. - М., ВШ, 1980.

7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 и 2, - М., ВШ, 1986.

8. Кручкович Г.И. и др. Сборник задач по высшей математике (с решениями). Изд. 3-е. - М., Наука 1973.

9. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М., ВШ, 1962, 1964 и др. г.

10. Бараненков Г.С. Задачи и упражнения по математическому анализу для вузов. - М., 1971, 1974.

11. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. - М., ВШ, 1969.

12. Лысенко В.И. Высшая математика. Лекции для студентов высших учебных заведений, обучающихся заочно по экономических специальностям. - М., МГТА, 1999.

 

Решение.

Система n линейных уравнений с n неизвестными является совместной и имеет единственное решение, так как определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных не равен нулю. Вычислим определитель системы методом разложения его по элементом строки. Разложим по первой строке:

 

Так как определитель системы не равен нулю, система уравнений совместна и имеет единственное решение.

а) Найдем решение системы по формулам Крамера

, , ,

где D₁ D₂ D₃ - определители, которые получаются из определителя D системы путем замены в нем соответственно 1-го, 2-го, 3-го столбцов коэффициентов при неизвестных x₁ x₂ x₃ столбцом свободных членов уравнений, стоящих в правой части данной системы. Получим следующие три определителя:

 

 

 

 

 

 

Вычислить неизвестные , , .

Проверим это решение, подставив значения неизвестных во все уравнения системы. Получим Решение верное.

 

б) Решим ту же систему уравнений методом Гаусса. Для этого выпишем расширенную матрицу системы и приведем основную матрицу системы к треугольному виду или ступенчатому виду, если число уравнений окажется меньшим числа неизвестных. Приведение матрицы к треугольному виду, то есть такому, когда ниже (или выше) главной диагонали все элементы будут нулевые, а на главной диагонали - ненулевые, всегда возможно. Оно основано на следующих элементарных преобразованиях матрицы, соответствующих эквивалентным преобразованиям система:

1. Перестановка строк матрицы;

2. Перестановка столбцов;

3. Умножение всех элементов строки на одно и то же число;

4. Сложение элементов любой строки с соответствующими элементами любой другой строки;

5. Вычеркивание получившихся нулевых строк.

 

Вот решение одной системы методом последовательных исключений неизвестных:

 

 

Расширенная матрица 1-й шаг 2-шаг

 

 

Возвратимся теперь от матричной записи к системе уравнений. Из последней строки матрицы следует уравнение , откуда х₃ = -3 Подставляя х₃ = -3 в последнее уравнение (вторая строка расширенной матрицы) получим или . Наконец, из первого уравнения системы (первая строка матрицы) найдем Решение такое же, как в случае (а). Оно уже проверено.

Существует модифицированный метод Гаусса, так называемый метод полного исключения неизвестных, в результате которого основная матрица системы преобразуется в каноническую матрицу, на главной диагонали которой остаются единицы, а все остальные элементы обращаются в нули. Таким образом сразу получается решение.

В основе этого метода лежит следующий алгоритм (строго определенный порядок действий)

1. Выберем разрешающую строку и в ней разрешающий элемент. Обычно это первый элемент первой строки, считая слева направо. Строки можно целиком переставлять, так что на первое место можно записать любую строку, в которой первый элемент не равен нулю.

2. Каждый элемент, разрешающий строки разделим на разрешающий элемент.

3. Элементы разрешающего столбца заменим нулями во всех строках матрицы, кроме разрешающей, где он буден равен единице.

4. Элементы столбцов, Которые были разрешающими на предыдущих шагах исключения, переписываем без изменения.

5. Остальные элементы пересчитаем по следующему правилу «прямоугольника»:

РD2     D1 П

Где П – пересчитываемый элемент, Р – Разрешающий, D₁ и D₂ – “диагональные”, И – искомый. Все эти элементы каждый раз должны быть вершинами воображаемого прямоугольника, образованного параллельными строками и столбцами. Искомый элемент записываем на месте пересчитываемого.

Вернемся к расширенной матрице данной системы и выполним эквивалентной преобразования по предложенной выше схеме полного исключения неизвестных. Рекомендуем читателю все пересчеты коэффициентов по правилу «четырехугольника» записывать подробно.

 

Данная расширенная матрица 1-й шаг 2-й шаг

 

3 - й шаг 4 – й шаг

Если в последней матрице вернуться к записи уравнений, то получим

, , , а это и есть решение данной системы.

Замечания: 1. Кружками обведены разрешающие элементы.

2. При переходе от 2-го шага к 3-му третью строку почленно разделили на 90/7.

в) Решить данную систему методом обратной матрицы.

Решение. Данную систему можно записать в матричном виде АХ = В,

где , ,

Решение матричного уравнения имеет вид Х = А^-1 В = N, где А^-1 – матрица, обратная матрицы А. Так как определитель матрицы системы D(A) = 180 отличен от нуля то матрица А имеет обратную. Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой

 

Где А₁₁, А₁₂, …, А₃₃ – алгебраические дополнения элементов а₁₁, а₁₂, …, а₃₃ матрицы А. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

 

; ; ;

 

; ;

; ; .

 

Составим обратную матрицу

.

Найдем теперь матрицу Х.

 

Из равенства матриц Х = N или следует решение системы

х₁=2, х₂ = 1, х₃ = -3.

 

 

Задача 2. Методом исключения неизвестных найти общее и базисное

решение системы линейных уравнений

Решение.

 

Это система двух уравнений с тремя неизвестными. Она совместна и неопределенна. Надо описать совокупность всех ее решений. В качестве базисных неизвестных данной системы можно взять те неизвестные, для которых определитель составленный из коэффициентов при нет известных, не равен нулю. Здесь три таких определителя, один из которых равен нулю . Следовательно, неизвестные х₁ и х₂ нельзя брать в качестве базисных. Примем за базисные неизвестные х₁ и х₂, для которых определитель . Будем считать неизвестную х₃ свободной и запишем систему в виде

Или в матричной форме . Воспользуемся методом полного исключения неизвестных:

Общее решение:

Полагая в общем решении х₃ = 0, получим базисное решение х₁ = ,

Проверка базисного решения показывает, что оно удовлетворяет обоим уравнениям системы, то есть, является частным решением системы. Давая х₃ любые другие числовые значения, получим бесчисленное множество частных решений.

Аналогично решаются системы с несколькими свободными неизвестными.

 

Задача 3. Даны матрицы и . Найти

произведение матриц АВ.

Решение.

Эти матрицы являются соответственными, так как число столбцов первой матрицы равно числу строк второй: их размеры и . В результате умножения матриц получим новую матрицу С размера , а ее элементы будут равны скалярным произведениям векторов-строк первой матрицы на векторы-столбцов второй:

 

Задача 4. Даны вершины треугольника А(-3;-2), В(1;8), С(5;3).

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;

в) внутренний угол А треугольника в градусах и минусах;

г) длину высоты, опущенной из вершины А;

д) площадь треугольника.

Решение.

а) Уравнения сторон найдем по формуле прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение стороны АВ: , или (АВ).

 

 

Уравнение стороны АС: или (АС)

 

б) Каждая из прямых, уравнения которых только это найдены, разделяет плоскость на две полуплоскости, определяемые соответствующими неравенствами.

Чтобы определить знаки этих неравенств, возьмем координаты какой-нибудь точки заведомо расположенной внутри треугольника АВС (см. рисунок 1). Такой точкой является, например точка N (0;1) подставляя координаты этой точки в уравнения граничных прямых (сторон) в силу того, что точка N не лежит ни на одной сторон, получим следующую систему неравенств. определяющих множество внутренних точек треугольника.

Рис. 1.

 

 

Система неравенств определяет множество точек, принадлежащих треугольнику АВС, включая его стороны.

в) Внутренний угол треугольника найдем, зная угловые коэффициенты сторон АВ и АС, образующих этот угол, по формуле .

Угловые коэффициенты прямых выложим по формуле .

Получим ; .

Тогда

. Угол определяем с помощью таблицы тангенсов или калькулятора

 

г) Длину высоты AD^BC (рис. 1) найдем как расстояние от данной точки А(-3;-2) до данной прямой ВС: 5х + 4у – 37 = 0 по формуле

, где А, В, С – коэффициенты прямой, - координаты данной точки.

Получим (мин. ед.)

 

д) Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами.

Вычислить ее через координаты вершин треугольника по формуле .

Получим .

Итак, площадь треугольника S_ABC = 30 кв. ед.

 

Задачи раздела ΙΙ заданий (см. оглавление, п.5.2)

Задача 5. Найти производные следующих функций (дается

сложные и неявная функции):

а)

 

Решение.

Решение.

Решение.

Дифференцируем как сложную функцию.

 

 

г) . Это неявная функция.

 

 

Решение.

, , .

Задача 6. С помощью правила Лопиталя вычислить пределы функций:

1) .

Решение.

Непосредственная подстановка х = 0 приводит к неопределенности вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя: заменить предел отношения функций пределом отношения их производных.

 

2)

 

Решение.

При получим неопределенность вида , когда можно применить правило Лопиталя.

Задача 7. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

 

Исследование выполним по примерной схеме, имеющейся в учебниках и практических руководствах. График можно строить либо по ходу исследования, либо конце исследования (рис.2).

1) Область определения функции . 2) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Пусть , тогда . Пусть , тогда или . Значит, график функции проходит через начало координат. 3) Проверить является ли функция четной, нечетной, общего вида. . Функция общего вида. 4) Найти асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные, горизонтальные).

Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва или на границе области определения. Здесь вертикальная асимптота . , - предел слева в точке ; - предел справа. Наклонные асимптоты вида Найдем, если существуют конечные пределы и .

Здесь

Итак, - уравнение наклонной асимптоты.

 

5) Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции и точки экстремума.

Найдем производную первого порядка.

Найдем критические точки первого рода и выясним знаки на полученных интервалах в окрестности критических точек. Критические точки: х₁ = 0, х₂ = 3, х₃ = 1 - последняя н входит в область определения функции. Используя достаточные признаки экстремума, выясним, как меняет знак при переходе через критические точки слева направо. Возьмем непрерывный интервал , содержащий точку .

; . Так как при переходе через точку производная знак не имеет, то функция монотонно возрастает и не является точкой экстремума.

Возьмем интервал , содержащий точку х = 3.

; . Здесь производная меняет знак с «-» на «+», значит, х =3 – точка минимума функции .

Итак, функция возрастает на интервалах и , убывает на интервале (1;3).

 

6) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

Вычислим производную второго порядка и найдем критические точки второго рода.

Критические точки второго рода, при которых в нуль или существует, такие , , но эта последняя не входит в область определения функции. Остается точка х = 0. Проверим меняет ли знак при переходе через эту точку. Возьмем интервал (-1; ), содержащий точку х = 0. Вычислим , . Отсюда следует, что х = 0 – точка перегиба, . . Отсюда следует, что - интервал выпуклости; , - интервалы вогнутости кривой.

 

Задача 8. Три пункта А.В. и С расположены так, что угол АВС (рис.3) равен 60⁰. Расстояние между пунктами А и В равно 200 км. Одновременно из пункта А выходит автомобиль, а из пункта В – поезд. Автомобиль движется по направлению к пункту В со стороны 80 км/ч, а поезд движется по направлению к пункту С со скоростью 50 км/ч. Через скорость времени расстояние между автомобилем и поездом будет наименьшим?

Решение.

Пусть t-время, через которое, поле начала движения автомобиля и поезда, расстоянием MN = s между ними будет наименьшими. По теореме косинусов для треугольника MBN запишем равенство H0 MB = 200 – 80t, NB = 50t, cos60^0 = .

рис. 3.

 

 

Тогда получим уравнение ;

км.

Отсюда . Найдем первую производную по t:

. Приравнивая первую производную к нулю получим откуда или - критическая точка.

Квадратный трехчлен под корнем в знаменателе в ноль не обращается ни при каких действительных значениях t, поскольку его дискриминант Д .

Легко видеть, что при переходе через критическую точку t₀ от меньших значений t к большим, например, от t = 1 до t = 2, первая производная меняет знак с минуса на плюс . Следовательно, t₀ = 1.6279 часа – точка минимума функции s. А так как других экстремумов эта функция не имеет, то в точке минимума функция имеет наименьшее значение: .

 

Задача 9. Найти частные производные и полный дифференциал функции

двух независимых переменных:

а)

Решение.

Найти частные производные ; . Составим полный дифференциал по формуле .

Получим .

б) .

Решение.

Найдем частные производные

.

Составим полный дифференциал

.

 

Задача 10. Найти экстремум функции

Решение.

Найдем частные производные:

и смешанную производную .

Необходимое условие экстремума: и

Решим систему уравнений x = 2y, 4y – y = -9, y = -3

x = -9

Итак, точка P(-9; -3) критическая точка. Составим выражение и вычислим его значение в критической точке P(-9; -3). Тогда, если , то P- точка экстремума. При этом, если , то Р – точка минимума,

а если , то Р – точка максимума,

Если , экстремума нет, а если - экстремум может быть, а может не быть. Нужны дополнительные исследования.

Установим характер экстремума в точке P(-9; -3).

, следовательно, P(-9; -3)- точка экстремума, а так как независимо от координат точки Р, то P(-9; -3) – точка минимума данной функции.

 

Задача 11. Найти неопределенные интегралы а) , б) ,

в) , г) , д) .

Предлагаемые интегралы можно, применив основные методы

интегрирования; метод замены переменной подстановка, метод

интегрирования по частям.

Решение.

а) ;

Подстановка: . Найдем дифференциалы обеих частей подстановки

или . Произведем замену переменной в подынтегральном выражении и найдем интеграл .

б) .

В первом из интегралов, стоящих справа, введем подстановку . откуда или . Таким образом, .

Второй интеграл справа является табличным .

Итак, , где , две произвольные постоянные суммы неопределенных интегралов объединяют в одну.

в)

Подстановка:

Получим табличный интеграл типа . Возвращаясь к прежней переменной, будем иметь .

г) . Найдем его методом интегрирования по частям по формуле .

Примем , .

В первом из этих двух равенств обе части дифференцируем, чтобы найти , а во втором интегрируем, чтобы найти . Получим , (здесь произвольную постоянную интегрирования принимаем равной нулю, поскольку достаточно хотя бы одного значения ).

Применив формулу интегрирования по частям, получим

.