Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики сау (сар) в отклонениях

 

При составлении уравнений, описывающих нестационарные процессы в САУ (САР) и которые в дальнейшем будем называть уравнениями динамики, система “разбивается” на отдельные элементы (звенья), для каждого из которых не существует проблем в записи соответствующего уравнения динамики.

На рис. 2.1 представлено схематичное представление САУ (звена) в переменных «вход-выход», где x(t) (или u(t)) - входное воздействие, а y(t) - выходное воздействие, соответственно. Нередко входное воздействие будет называться управляющим, а выходное воздействие - регулируемой величиной (переменной).

Рис. 2.1 – Схематическое представление САУ (звена)

При составлении уравнений динамики используются фундаментальные законы сохранения из разделов “Механики”, “Физики”, “Химии” и др.

Например, при описании перемещения узла какого-то механизма силового привода используются законы сохранения: момента, энергии, импульса и др.. В теплофизических (теплогидравлических) системах используются фундаментальные законы сохранения: массы (уравнение неразрывности), импульса (уравнение движения), энергии (уравнение энергии) и др.

Уравнения сохранения в общем случае содержат постоянные и нестационарные члены, причем при отбрасывании нестационарных членов получают так называемые уравнения статики, которые соответствуют уравнениям равновесного состояния САУ (звена). Вычитанием из полных уравнений сохранения стационарных уравнений получают нестационарные уравнения САУ в отклонениях (от стационара).

В качестве примера рассмотрим «технологию» получение уравнений динамики для механического демпфера, схематическое изображение которого представлено на рис. 2.2.

Рис. 2.2 – Механический демпфер

Согласно 2-го закона Ньютона Þ...ускорение тела равно сумме сил… Þ

(2.1.1)

где m – масса тела; F_j - силы, воздействующие на тело (поршень демпфера).

 

Подставляя в уравнение (2.1.1) все силы согласно рис. 2.2, имеем Þ

(2.1.2)

где m∙g – сила тяжести; k∙y(t) – сила сопротивления пружины; – сила трения.

Размерности сил и коэффициентов, входящих в уравнение (2.1.2) Þ

Предполагая, что при t £ 0 поршень демпфера находился в равновесии Þ

Þ перейдем к отклонениям от стационарного состояния Þ

Пусть при t > 0 Þ

Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), получаем

(2.1.3)

Если t £ 0, уравнение (2.1.3) принимает вид:

Þ (2.1.4)

. (2.1.5)

Соотношение (2.1.4) - уравнение звена (демпфера) в стационаре, а соотношение (2.1.5) - статическая характеристика звена (демпфера). Þ см. рисунок ниже Þ

Рис. 2.3 – Статическая характеристика механического демпфера

Вычитая из уравнения (2.1.3) уравнение (2.1.4), получаем уравнение динамики демпфера в отклонениях:

Þ разделив на k, имеем Þ

(2.1.6)

где

Уравнение (2.1.6) - это уравнение динамики в канонической форме, т.е. коэффициент при Dy(t) равен 1.0!!!

«Легко» видеть, что коэффициенты перед членами, содержащими производные, имеют смысл постоянных времени. Þ В самом деле Þ

Таким образом, получаем, что:

- коэффициент перед первой производной имеет размерность Þ [c] Þ т.е. смысл некоторой постоянной времени;

- коэффициент перед второй производной Þ [c²];

- коэффициент в правой части Þ [м^-1]

Тогда уравнение (2.1.6) можно записать в операторной форме:

(2.1.6.а)

где p = d / dt – оператор дифференцирования;

- линейный дифференциальный оператор;

N(p) - линейный дифференциальный оператор, вырожденный в Const, равную k ₁ .

Анализ уравнения (2.1.6.а) показывает, что такое уравнение имеет размерные переменные, а также размерными являются все коэффициенты уравнения. Если реальная САР (САУ) состоит из многих звеньев, выходными воздействиями которых являются различные физические переменные (скорость, температура, нейтронный поток, тепловой поток и т.д.), то значения коэффициентов могут различаться на большое число порядков, что ставит серьезные математические проблемы при численном решении уравнений динамики на ЭВМ (поскольку числа в ЭВМ представляются с какой-то точностью). Одним из наилучших способов избежать численных трудностей является принцип нормализации, т.е. переход к безразмерным отклонениям, которые получены нормированием отклонения на стационарное значение соответствующей переменной Þ

Введем новые нормированные (безразмерные) переменные:

Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), имеем:

Þ

Перенося в левую часть члены, содержащие , и разделив на , получаем:

(2.1.7)

где - коэффициент усиления, причем безразмерный ===>

Проверим размерность коэффициента ==> .

Использованный выше «технический» прием позволяет перейти к безразмерным переменным, а также привести вид коэффициентов в уравнении динамики к легко интерпретируемому виду, т.е. к постоянным времени (в соответствующей степени) или к безразмерным коэффициентам усиления.

На рис. 2. 4 представлены статические характеристики для механического демпфера.

Рис. 2.4

Процедура нормировки отклонений позволяет привести уравнения динамики к виду:

(2.1.8)

где L(p), N(p) – дифференциальные операторы.

Если дифференциальные операторы L(p) и N(p) - линейные, а статическая характеристика САУ (звена) – тоже линейна, то выражение (2.1.8) соответствует линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ).

А если L(p) или N(p) – нелинейные дифференциальные операторы, или , то уравнение динамики - нелинейное. Под нелинейными действиями понимаются все математические действия, кроме сложения (+) и вычитания (-).