Апериодическое звено 1 – го порядка (инерционное звено)

Вывод свойств (характеристик) апериодического звена сделаем на примере фрагмента (части) ядерного, а именно – входной камеры смешения.

 

Сделаем следующие допущения:

1) расход теплоносителя постоянен => G = const;

2) теплоемкость теплоносителя = const = Cp;

3) входящий в камеру смешения теплоноситель полностью перемешивается в камере смешения, т.е. температура жидкости, поступающий в каждый тепловыделяющий канал одинакова;

4) теплообмен камеры смешения с окружающей средой пренебрежимо мал.

Уравнение теплового баланса

(3.3.1)

где ρ – плотность теплоносителя,

Ср – удельная теплоемкость,

V – объем камеры смешения

G – расход теплоносителя,

Твх(t), Твых(t) – температура теплоносителя на входе и выходе, соответственно.

Т(t) – температура (перемешанного) теплоносителя в камере смешения => T(t) ≡ Tвых(t)

Условие стационара соответствуют приравниванию нулю левой части уравнения

= нулю => Tвх(0) = Tвых(0) = T₀ (т.к. нет теплообмена). (3.3.2)

Введем новые переменные:

вх =

= вых =

Подставляя эти соотношения в (3.3.1), получаем:

Сокращая на Т₀ и Ср

(3.3.3)

τ – постоянная времени

– аналог y’(t);

– аналог y(t);

1 – аналог К;

– аналог x(t).

Таким образом получили линейное дифференциальное уравнение, причем решенные и - нормализованные, что обеспечивает равенство их нулю при t ≤ 0 =>

Уравнение (3.3.3) соответствует типовому апериодическому звену первого порядка:

 

В общем случае уравнение динамики апериодического звена 1-го порядка имеет вид:

уравнение динамики в виде ОДУ (3.3.4)

Если начальные условия нулевые, то y(t) Y(s);

y’(t) s·Y(s); =>

x(t) X(s);

Уравнение динамики в изображениях => [T·s+1] ·Y(s) = K·X(s) (3.3.5)

Передаточная функция апериодического звена 1 - го порядка: (3.3.6)

Найдем выражение для АФЧХ =>

s = i∙ω => W(iω) = W(s)│s=iω= (3.3.7)

умножим на комплексно – сопряженное значение (1 – i∙T∙ω) =>

=>

анализируя поведение u(ω) и v(ω) =>

Подставляя в формулы (3.3.8) различные значения частоты ω найдем соответствующее значение u (ω) и v (ω) => построим эти вектора на комплексной плоскости:

Анализ показывает, что годограф АФЧХ — полукруг радиусом = K =>

φ₃ = φ(ω₃) = - , причем “легко видеть”, что ω₃ =.

Из формулы (3.3.7)

(3.3.9)

Учитывая, что годограф АФЧХ находится в IV-ой квадранте, то => (3.3.10)

ЛАХ => Lm (ω) = 20 lg A (ω) = 20 lg K – 20 lg =>

Lm (ω) =20 lg K – 20 lg (3.3.11)

 

 

Анализируя частотные свойства данного звена =>

1) При ω << свойства звена приблизительно совпадают со свойствами идеального усилительного звена, т.е. W(iω) ≈ K => W(s) ≈ K.

2) При ω >> свойства звена приблизительно совпадают со свойствами идеального интегрирующего звена, т.е. W(iω) ≈ => W(s) ≈.

3) При ω ≈ => на свойства звена оказывают примерно равное “влияние” свойства идеального усилительного и идеального интегрирующего звена.

Принято называть частоту, при которой происходит “излом” ЛАХ (ω_сопр =) =>

− сопрягающей частотой или => ω_сопр = => причем не трудно показать, что при ω_сопр = величина амплитуды А(ω_сопр) меньше А(0) = К в раз => А(ω_сопр) = .

Частотой среза ω_ср называют такое значение частоты, при которой модуль (амплитуда) выходного сигнала (воздействия) = 1,0 =>

А(ω_ср) = (если К>>1)

=> ω_ср= => если K>>1

ω_ср= => если K≥1

Если K < 1, то частота среза не существует!!!

 

Найдем переходную функцию звена (реакция на единичное ступенчатое воздействие)

=> см. пример в разделе 2 =>

=> дифференцируя по времени => получаем весовую функцию ω(t)

=> множитель 1 (t) обеспечивает = 0 при t ≤ 0

 

Рис. Переходная функция Рис. Весовая функция

Постоянная времени Т характеризует инерционность переходных процессов в звене => чем больше Т, тем инерционнее звено (т.е. медленнее идет переходной процесс).

Примерами апериодического звена 1- го порядка являются:

1) Пассивные R−L или R−C цепочки =>

2) упрощенная модель гидротурбины, где x(t) = приводной момент; y(t) − скорость вращения ротора турбины.

3) электродвигатель (постоянного тока или асинхронный) с учетом инерционности якоря (ротора), где x(t) − например, напряжение в обмотке возбуждения, а y(t) − скорость вращения якоря (ротора) => выходного вала;

4) тепловые датчики, например, термопара, где: x(t) − температура одного (“горячего”) спая, а y(t) − термо Э.Д.С.

5) выходная камера смешения в реакторе (приближенно)

6) различные элементы реактора, описываемые в рамках точеных моделей (например, активная зона или ядерное горючее) с использованием закона Фурье:

,

где T(t) − температура топлива;

− “объемный” коэффициент теплоотдачи;

− выделяющаяся энергии (~Σ_f∙Φ(t)), где Σ_f [], Φ(t) [];

Т_* − например, температура кипения теплоносителя.

3.4. Апериодическое звено 2−го порядка

Уравнение динамики апериодического звена 2−го порядка имеет следующий вид:

(3.4.1)

(3.4.2)

Если D < 0, то звено становится колебательным (см. 3.5)

Учитывая, что: y(t) Y(s); x(t) X(s); и т.д. => уравнение динамики звена в изображениях => (3.4.3)

Передаточная функция звена может быть представлена в двух видах:

(3.4.4)

где T₃= − ; T₄= ;

Амплитудно − фазовая частотная характеристика (АФЧХ) =>

(3.4.5)

Домножив формулу (3.4.5) на комплексно − сопряженные скобки () и , получаем =>

(3.4.6)

Модуль АФЧХ (амплитуда) = mod W(i·ω) = | W(i·ω)| =>

=>

(3.4.7)

Подставляя в формулы (3.4.6) или в формулу (3.4.5) различные значения ω можно построить вектора, соответствующие различным значениям ω:

 

Очевидно, что 1) ω₆ > ω₅ > ω₄ > ω₃ > ω₂ > ω₁ > 0

2) 0 > φ₁ > φ₂ > φ₃ > φ₄ > φ₅ > φ₆

Нетрудно показать, что

Из данного рисунка видно, что φ(ω) є [0; –π[, а точнее φ(ω) є [ -π; 0].

Используя формулу для фазового сдвига: следует заметить, что для ω є {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄} в формуле j = 0, а для ω = ω₅; ω = ω₆ => j = +1.

Более удобная формула получается, если использовать “последовательное соединение” 2-х звеньев => известно, что при последовательном соединении звеньев общий сдвиг фазы равен сумме фазовых сдвигов:

(3.4.8)

Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) = Lm(ω) => Lm(ω) = 20 lg A(ω) => (3.4.9)

Графики А(ω), φ (ω), Lm(ω) имеют вид:

 

В инженерных расчетах часто график Lm(ω) представляют виде отрезков ломаных, тогда при − звено близко к идеальному усилительному звену => W(s) ≈ K

при − звено близко к идеальному интегрирующему звену W(s) ≈ K/Ts

при − звено близко к дважды интегрирующему звену (W(s) ≈ K/T²s²)

В граничном случае (D=0 или T₁=2·T₂) => T₃ = T₄ и отмеченные на графике Lm(ω) => см. рис. выше => точки «излома» совпадают =>

 

Если D < 0 (T₁ = 2·T₂) => звено “переходит” в разряд колебательных звеньев. Поэтому постоянная Т₁ в уравнении динамики (3.4.1) играет роль демпфирующего фактора => увеличение Т₁ (в колебательном звене) приводит к уменьшению или к полному исчезновению колебаний.

Найдем переходную функцию звена h (t) − реакцию на воздействие 1 (t):

=> по формуле Хэвисайда => (3.4.10)

Дифференцируя формулу (3.4.10), т.к. w (t) = h ’(t) =>

(3.4.11)

 

 

Примерами апериодического звена 2-го порядка являются:

1) двигатель постоянного тока при учете инерционности самого якоря (механической) и цепи якоря (электрической);

2) электрический усилитель с учетом инерционности (механической и электрической) ротора;

3) двойные R − C или R − L цепочки

 

 

Если звено представлено в переменных состояния =>

x’=Ax + Bu; A= => =>

звено будет апериодическим 2-го порядка, если:

.

 

3.5 КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО

Колебательное звено является наиболее “интересным” из всех типовых звеньев, во-первых, за счет “сильной похожести” по своим динамическим свойствам на более сложные реальные САУ (САР), во-вторых, близкой идентичности переходных процессов в звене к аналогичным в реальных САР, и, в-третьих, существенной зависимости динамических свойств от величины параметра звена.

Уравнение динамики звена описывается уравнением, аналогичным рассмотренном в предыдущем разделе (апериодическое звено второго порядка):

(3.5.1)

причем T₁ < 2T₂, т.е. D = T₁² − 4T₂² ≤ 0

Учитывая, что D ≤ 0, удобнее представить уравнение динамики в другой форме, а именно:

Введем новые параметры: T ≡ T₂ и β = T₁ / 2T₂ , где β − параметр (коэффициент) затухания (демпфирования (0 ≤ β ≤ 1)).

Будем в дальнейшем называть “β” − коэффициентом демпфирования или параметром затухания. Подставляя новые параметры в (3.5.1)

(3.5.2)

Наиболее удобная форма представления уравнения динамики.

Учитывая, что x(t) X(s); y(t) Y(s) и т.д.

− уравнение динамики в изображениях Лапласа.

Отсюда выражение для передаточной функции:

(3.5.3)

передаточная функция колебательного звена.

Еще раз подчеркнем, что параметр (коэффициент) затухания (демпфирования) 0 ≤ β ≤ 1, причем при β = 1 − свойства колебательного звена совпадают с аналогичными свойствами соответствующего апериодического звена 2-го порядка, а при β = 0 − звено выражается в консервативное, в котором могут существовать незатухающие гармонические колебания.

Выражение для АФЧХ получается после подстановки в (3.5.3) значения s = i·ω =>

(3.5.6)

Выражения для вещественной и мнимой частей принимают вид:

(3.5.7)

Опуская выкладки запишем выражение для A(ω) и φ(ω)

(3.5.8)

(3.5.9)

Анализ формул (3.5.7 − 3.5.9) показывает, что:

Одной из главных особенностей АФЧХ является возможность существования экстремума в зависимости A(ω) => Выполним исследование на экстремум =>

=> (3.5.10)

Очевидно, что ω_м существует (т.е. є Rе), если (1-2β²) ≥ 0 =>

Если β < − A(ω) имеет max, если β > − экстремума в зависимости A(ω) − нет.

Анализ вышеприведенных соотношений показывает, что при β < (β ≤ 0,707) график A(ω) имеет “горб”, который при уменьшении β “усиливается” и при β → 0 A(ω) → ∞, что означает “разрыв” в зависимости A(ω).

Частоту ω_м будем отождествлять с тем значением частоты входного гармонического воздействия при которой имеет место максимальное значение амплитуды выходного сигнала.

Подставляя выражение для ω_м (формула (3.5.10)) в выражение (3.5.8), получаем:

 

 

(3.5.11)

Данная формула работает только при

Очевидно, что если β ↓, A(ω_м) ↑, а при β → 0, A → ∞.

Поскольку β = T₁ / 2T₂ , то очевидна ‘роль’ постоянных времени: => T₂ – ‘раскачивает’ колебания, а T₁ − ‘демпфирует’ их. => рассмотрим соответствующие графики:

 

 

РИСУНОК

 

 

Данные графики аналогичны

для случаев резонансов в теоретической механика, физике, электротехнике и т.д.

Величину ω = 1 / T принято называть частотой свободных колебаний и обозначать: ω₀ = 1/T

В звене при β = 0 устанавливаются незатухающие колебания с частотой ω₀, а само звено вырождается в консервативное.

Подставляя различные значения ω в формулу (3.5.6) или (3.5.7) построим гадограф АФЧХ на комплексной плоскости:

 

‘легко показать’, что ω₄ = 1 / T годограф консервативного звена.

 

Построение ЛАХ ≡ Lm(ω) не может быть сделано так просто, как для предыдущих позиционных звеньев, т.е. отрезками прямых.

Будем использовать для построения графика ЛАХ нормированную (безразмерную) частоту , где ω₀ − частота свободных колебаний, имеющим место в консервативном звене со следующим уравнением динамики:

Введя новую переменную в выражение для Lm(ω) =>

(3.5.12)

Такая форма представления позволяет ‘свести’ различные ЛАХ при различных Т к автомодельному виду (‘универсальному’ виду графиков).

На рис. … представлен график Lm(ω) в форме (3.5.12) построенный фактически в логарифмических координатах, причем коэффициент усиления K=1.

Подчеркнем, что при такой форме представления все ЛАХ при различных T₁ и T₂ можно “собирать вместе”.

Величина H_m (см. рис.) называется превышением:

(3.5.13)

− превышение при частоте ω = ω_m

Если , то в упрощенных расчетах величину превышения H_m можно оценить, как:

(3.5.14)

при ω = ω_m (эта формула для “ярко выраженных” “горбов”).

Вычислим переходную функцию звена h(t) =>

воспользуемся формулой Хэвисайда.

Найдем полюса

т.к. нет повторяющихся полюсов, т.е. K_j = 1 =>

(3.5.15)

Для вычисления составляющей при j = 1 удобнее использовать второй вариант формулы (3.5.15) =>

j = 1 =>

 

 

j = 2 =>

 

 

j = 3 =>

Замечая много общих сомножителей в слагаемых для j = 2, 3 => суммируем составляющие при j = 2 и j = 3 =>

подставляя значения m и n =>

подставляя все составляющие в формулу (3.5.15) =>

 

(3.5.16)

 

 

(3.5.16.а)

Величина называется частотой собственных колебаний (0 < β < 1).

Таким образом в описании колебательного звена появилось три “новых” частоты =>

ω_m < ω_c < ω₀

 

Рассмотрим предельные случаи для β (т.е. β = 1 и β = 0)

Если .

Если т.е. собственных колебаний в звене нет, т.е. процесс без колебательный.

Если

(3.5.17)

− переходная функция консервативного звена

=>

 

 

Если возникают “трудности” со вторым слагаемым в круглых скобках формулы (3.5.16) => раскрываем неопределенность типа

(3.5.18)

 

эта формула соответствует

также аналогичной формуле

для апериодического звена 2- го

порядка при D = 0

(совпадающие полюса).

 

 

 

 

Если

 

 

 

− необходимо доказать (вывести) эту формулу!!!!!

 

Дифференцируя во времени формулы (3.5.16 − 3.5.18) найдем соответствующие весовые (w (t)) функции:

Если (3.5.19)

 

Если

(3.5.20)

 

Если

(3.5.21)

 

 

 

Примерами колебательного звена можно считать:

 

1. R − C − L – цепь =>

 

 

1. упругие механические передачи;
2. гироскопический “маятник”;
3. управляемый двигатель постоянного тока (при некоторых условиях).

 

СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

4.1. Замена цепи из последовательно параллельно соединенных звеньев

 

Все реальные системы автоматического регулирования являются замкнутыми и сложными, но при анализе часто приходится рассматривать “фрагменты” (а иногда и целиком) САР и выполнять над ними некоторые операции, например, упрощающие изображение структуры САР.

Определение. Действия, упрощающие математическое или графическое изображение САР или упрощающие последующий анализ динамических свойств САР, называются структурными преобразованиями.

Различают несколько типовых упрощающих действий:

§ замена цепи из последовательно соединенных звеньев эквивалентным звеном;

§ замена цепи из параллельно соединенных звеньев эквивалентным звеном;

§ замена цепи с местной обратной связью эквивалентным звеном;

§ замена цепи с местной обратной связью на единичною обратную связь;

§ перенос точек включения обратной связи “вперед”- “назад”;

§ перенос точек суммирования или ветвления “вперед”- “назад”.

 

Рассмотрим поочередно вышеперечисленные структурные преобразования.

 

4.1.1. Замена цепи последовательно соединенных звеньев эквивалентным звеном

Цепь преобразований: Получить эквивалентную передаточную функцию Wэкв(S)

=> W_экв (s) = Y(s)/X(s) ≡ X_n(s)/X(s) => запишем ряд очевидных равенств:

 

 

перемножим, соответственно, правые и левые части этих равенств =>

W_1*W_{2 *}……_* W_n= X₁/X _* X₂/X₁…… X_n-1/X_{n-2 *} X_n/X_n-1 =>

X_n (s) /X (s) = Wэкв (s) = W₁ (s) _*W₂ (s) _*……_* W_n (s)

 

— Эквивалентная передаточная функция. (4.1)

 

Найдем эквивалентную АФЧХ => s = i_*ω =>

 

(4.2)

учитывая, что W_j = A_j (ω) e^{iφj (ω)} =>

(4.3)

Эквивалентная логарифмическая амплитудная характеристика =>

(4.4)

Если каждое из звеньев имеет передаточную функцию в виде W_j (s)= K_*N (s) /L (s), где N (s), L (s) имеют свободные члены = 1,0 =>

(4.5)

4.1.2. Замена цепи из параллельно соединенных звеньев эквивалентным звеном

Складывая, получаем

X₁ (s) +X₂ (s) +…+ X_n (s) = X (s)[ W₁ (s) +W₂ (s) +…+ W_n (s)]

└─────────────┘ └──────────────┘

↓ ↓

Y(s) Wэкв(s)

 

 

=> (4.6)

 

Подставляя вместо “s” значение “i_*ω” =>

(4.7)

 

 

(4. 8)

 

A экв(ω) не выражается простым сложением =>

(4. 9)

Аналогично для фазового сдвига =>

 

φ_экв (ω) =-π_*m+arct (Vэкв (ω) / Uэкв (ω)), (4. 10)

где значение m:

m=1,3,5…, если в 2…3 квадрантах

m=0,2,4…, если в 1 или 4 квадрантах

Логарифмическая амплитудная характеристика:

(4. 11)

Наиболее простые соотношения имеют место для переходной и весовой эквивалентных функций

h_экв (t)= ; w_экв (t)= (4. 12)

 

Последовательное и параллельное соединение звеньев в значительной степени похожи на аналогичные соединения в электротехнике, гидравлики, и т.д.

 

Пример на использование структурных преобразований

Задание: Построить (качественно) ЛАХ следующей цепи из последовательно соединенных звеньев:

x(t) y(t)

→ τ₁s/(T_1*s+1) → K₂/(T_2*s+1) → K₃/(T_3*s+1) →

T₁=10^-2c K₂=1 K₃=10²

τ₁=1c T₂=1c T₃=10²c

 

НУЖНО ВСТАВИТЬ РИСУНОК!!!!

 

4.2 Цепь с местной обратной связью

Цепь с местной обратной связью имеет следующий структурный вид:

причем сравнивающее устройство

 

если отрицательная обратная связь

 

если положительная обратная связь

 

Рассогласование ε (t) = x (t)- x_ос (t) =>

Выполним преобразования, “обойдя” структуру по контуру =>

Необходимо получить Wэкв (s) = Y (s)/ X (s), т.е. =>

 

↓

Wэкв (s)

 

 

=> Y (s) = E (s)* W (s) = [ X (s) - Xoc (s)]* W (s) = [ X (s) - Y (s)* Woc (s)]* W (s) =>

[ 1+ Woc (s) *W (s)] *Y (s) = X (s) *W (s) =>

Wэкв (s) = Y (s)/ X (s) = W (s)/(1+ Woc (s) *W (s)) (4.13)

− Эквивалентная передаточная функция для отрицательной обратной связи.

 

Если цепь с положительной обратной связью, то =>

ε (t) = x (t) + x_ос (t) => опуская преобразования =>

Wэкв (s) = Y (s) /X (s) = W (s)/(1- Woc (s) *W (s)) (4.14)

Wэкв (s) = Y (s) /X (s) = W (s)/(1 ± Woc (s) *W (s)), (4.15)

где знак “+” - для отрицательной обратной связи

знак “−” - для положительной обратной связи

 

В САР почти всегда используется отрицательная обратная связь, т.е. знак “+”.

Если звенья с передаточными функциями W(s) и Woc – позиционные, то

Кэкв= К / (1± Кос*К) (4.16)

Если обратная связь единичная, т.е. Woc = ±1, то

Wэкв = W (s)/(1 ± W (s)) (4.17)

В теории управления техническими системами единичную обратную связь называют, зачастую, жесткой обратной связью. =>

W(s)

=> Wэкв = W(s)/(1+ W(s))

Формула (4.2.5) – соответствует замене цепи с местной обратной связью на эквивалентное звено.

 

4.2.1. Замена звена с местной обратной связью на единичную

Существуют два способа замены, рассмотрим их последовательно:

Ый способ

Исходная САР

Эквивалентная САР

 

 

Wисх (s)= W (s)/(1+ Wос (s) *W (s)) Wэкв = [(W (s) *Wос (s)/(1+ Wос (s)* W (s))]* Z (s)

Z (s)= 1 / Wос (s) (4.18)

Ой способ

Исходная САР

Эквивалентная САР

 

Wэкв = [(W (s)* Z (s)/(1+ Z (s) *W (s))] = W (s)/(1 + Wос (s) *W (s)) =>

Z (s)[ 1+ Wос (s)* W (s)] = 1+ Z (s)* W (s)) => Z (s)[ 1−W (s) + Wос (s)* W (s)] = 1=>

Z (s) = 1 /[ 1−W (s) + Wос (s) *W (s)] (4.19)

 

4.3. Перенос места обратной связи “вперед” или “назад”

а) вперед

Исходная САР

Эквивалентная САР

 

 

Wисх (s) = W1 (s) *W2 (s)/(1+ Wос (s) *W1 (s))

Wэкв = W1 (s) *W2 (s)/(1+ Wос (s) *W1 (s) W2 (s) *Z (s))

=> Z (s) = 1/ W2 (s) (4.20)

 

б) назад

Исходная САР

Эквивалентная САР

Wисх (s) = W1 (s)* W2 (s)/(1+ Wос (s)* W1 (s) *W2 (s))

Wэкв = W1 (s) *W2 (s)/(1+ Wос (s)* W1 (s) * Z (s))

Z (s) = W2 (s) (4.21)

 

4.4 Перенос точек суммирования “вперед” или “назад”

а) вперед

Исходная схемаЭквивалентная схема

W(s)

x2(t)

x1(t)

y(t)

W(s)

W(s)

x1(t)

x2(t)

y(t)

 

Данные рисунки не требуют дополнительных комментариев

 

б) назад

 

Исходная схемаЭквивалентная схема

W(s)

x2(t)

x1(t)

y(t)

W(s)

1/W(s)

x2(t)

y(t)

x1(t)

 

Данные рисунки, также не требуют дополнительных комментариев

Иногда этот прием называется “перенос внешнего воздействия” =>

Если считать f(t) ≡ x2(t), то это естественно!!!

 

4.5. Перенос точек ветвления сигнала “вперед” или “назад”

 

а) вперед

Исходная схемаЭквивалентная схема

W(s)

x(t)

x(t)

y(t)

W(s)

1/W(s)

x(t)

x(t)

y(t)

б) назад

Исходная схемаЭквивалентная схема

W(s)

y(t)

x(t)

y(t)

W(s)

W(s)

x(t)

y(t)

y(t)

 

Пример: Преобразовать структурную схему САР привести к единичной главной обратной связи.

W1

W2

W3

W4

W5

W6

W7

x(t)

W8

y(t)

Привести к виду

 

 

W*(s)

x(t)

y(t)

 

 

Этапы преобразований:

1. W1+W2 =W9

2. W4,W5 => W10 =W4 /(1+W4*W5)

3. W9, W3, W10, W6 => W11 = W9*W3*W10*W6 =>

 

W7

W8

W11

=> Wисх = W11*W7 /(1+ W11*W8) =

= W* /(1+W*)=>

W**W7*W11+ W11*W7 = W* + W**W8*W11

W7*W11 = W* *[ 1+W8*W11 − W11*W7 ]=>

W* (s) = W11*W7 /(1+ W11 (W8 − W7))