Передаточная функция замкнутой САР для ошибки (рассогласования)

Данная передаточная функция определяется следующим выражением:

Ф_e (s) = , (5.7)

Сделаем вывод соответствующих формул, выполнив «обход» по контуру Þ

E(s) = X(s) - Y(s) = X(s) - E(s)×W(s); Þ [1 + W(s) ] × E(s) = X(s); Þ

Ф_e (s) = = , т.к. Ф(s) = . (5.8)

Подставляя в формулу (5.8) значение W(s) через полиномы N(s) и L(s), имеем Þ

Ф_e (s) = . (5.9)

Опять замечаем, что знаменатель передаточной функции Ф_e (s) равен полиному D(s) Þ следовательно, характерным признаком передаточных функций замкнутой САР является общность знаменателей!!!.

В Теории Управления выражение D(s) = L(s) + K∙ N(s) имеет «собственное» название: характеристический полином замкнутой САР.

Если на САР воздействует одновременно два воздействия: x(t) и f(t), то Þ

Y(s) = Ф(s) × X(s) + Ф_f (s) × F(s) Þ но об этом в следующем подразделе...

5.2 Уравнения динамики замкнутой САР.

Как указывалось в подразделе 5.1, любую замкнутую САР можно привести к виду:

 

f (t)

M (s)

F (s)

x (t) e (t) y ₂ (t)

W (s) + y (t)

X (t) E (t) y ₁ (t) Y (s)

 

Выведены соотношения для 3-х основных передаточных функций замкнутой САР Þ

Ф(s), Ф_f (s), Ф_e(s) Þ если на САР одновременно воздействуют управляющее воздействие (x(t)) и возмущающее воздействие (f(t)), Þ

 

Y (s) = + (5.2.1)

Y _x(s) Y _f (s)

 

Подставляя значения Ф (s) и (s) через полиномы N(s) и L(s) разомкнутой САР Þ

Y(s) = ,

где D(s) = L(s) + KN(s) - характеристический полином Þ

 

D(s)×Y(s) = K×N(s) × X(s) +R(s) × F(s) (5.2.2)

динамическое уравнение замкнутой САР в изображениях.

Переходя к оригиналам Þ

 

D(p) y(t) = N×N(p) x(t) + R(p) f(t) - (5.2.3)

 

символическая форма записи обыкновенного дифференциального уравнения замкнутой САР.

Решение уравнения (5.2.3) – обычный алгоритм Þ

y (t) = y _соб (t) + y _вын (t),

где y_соб(t) - решение однородного дифференциального уравнения Þ D(p) y(t) = 0;

y_вын(t) – вынужденная часть решения (частное решение), определяемая правой частью уравнения (5.2.3).

Решения однородного уравнения замкнутой САР:

D(p) y(t) = 0: Û a _n × y ⁽ⁿ⁾ + a _n-1 × y ^(n-1) + …+ a ₁ × y ¹ + a ₀ × y = 0 Þ

записываем соответствующее характеристическое уравнение:

D(l) = 0 Û a _n × l ⁿ + a _{n- i} × l ^{n - 1} + …+ a ₁ × l + a ₀ = 0 Þ

находим корни степенного уравнения Þ l _j Þ

Y_соб(t) = _j × e ^lj ,

если все корни уравнения разные.

Если есть совпадающие корни характеристического уравнения, то формула для y_соб (t) изменится (см.ранее).

Обычно y_вын (t) находят по виду правой части уравнения (5.2.3) или, используя другие методы (например, метод вариаций постоянных).

Необходимо отметить, что порядок дифференциального уравнения (5.2.3) равен «n», т.е. такой же, как и у разомкнутой САР Þ

L (p) y (t) = K × N(p) x(t)

если нет возмущающего воздействия, т.к. порядок дифференциального оператора L(p) обычно значительно выше, чем N(p).

По аналогии с выводом уравнения (5.2.3) можно получить уравнение динамики для рассогласования e(t) Þ

 

 

E (s) = Ф _e (s) × X (s) - Ф _f (s) × F (s) (5.2.4)

 

Þ подставляя значения Ф_e(s), Ф_f(s) Þ

E(s) = Þ

 

D(s) × E(s) = L(s) × X(s) – R(s) ×F(s) (5.2.5 )

 

- уравнение динамики замкнутой САР для рассогласования (ошибки) при наличии управляющего и возмущающего воздействий.

Особенностью данного уравнения (5.2.5) является то, что левая часть его практически совпадает с левой частью (5.2.2), в то время, как порядок правой части заметно выше, т.к. порядок многочленов D (s) и L (s) - одинаков.

Это означает, что внешние воздействия x(t) и f(t) влияют на e(t) более сильным образом. Þ

 

D(p) e(t) = L(p) x(t) – R(p) f(t) (5.2.6)

 

- дифференциальное уравнение замкнутой САР для ошибки.

Способы решения уравнения (5.2.6) такие же, как и для уравнения (5.2.3).